CalcAl

Калькулятор НОД и НОК

Профессиональный инструмент для вычисления Наибольшего Общего Делителя и Наименьшего Общего Кратного, а также разложения чисел на простые множители.

Загрузка калькулятора...
Euclid
Алгоритм
0.001с
Скорость
∞
Чисел
100%
Точность

Теория и определения

GCDНОД (Наибольший Общий Делитель)

Наибольшее положительное целое число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка.

Международные обозначения:

  • 🇺🇸 GCD (Greatest Common Divisor)
  • 🇪🇺 HCF (Highest Common Factor)
  • 🇩🇪 ggT (größter gemeinsamer Teiler)
  • 🇫🇷 PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

LCMНОК (Наименьшее Общее Кратное)

Наименьшее положительное число, которое кратно каждому из заданных чисел (делится на них без остатка).

Международные обозначения:

  • 🇺🇸 LCM (Least Common Multiple)
  • 🇩🇪 kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
  • 🇫🇷 PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Фундаментальная связь НОД и НОК

Для любых двух положительных целых чисел a и b справедливо тождество:

GCD(a, b) × LCM(a, b) = |a × b|

Основные методы вычисления

1

Алгоритм Евклида

Международный стандарт. Основан на свойстве НОД(a, b) = НОД(b, a mod b). Процесс повторяется, пока остаток не станет равным нулю. Самый быстрый метод для компьютеров.

2

Разложение на простые множители

Классический школьный метод. Числа представляются в виде произведения простых чисел (2, 3, 5, 7...).
Для НОД: берутся общие множители в минимальной степени.
Для НОК: берутся все множители в максимальной степени.

Применение в IT и Инженерии

НОД и НОК — это не просто школьная программа, а основа многих алгоритмов в Computer Science.

🔐

Криптография (RSA)

Разложение больших чисел на простые множители — сложнейшая вычислительная задача, на которой держится безопасность современной криптографии (RSA).

⚙️

Синхронизация процессов

НОК используется для определения моментов времени, когда периодические события (например, циклы планет или такты процессора) синхронизируются.

🎨

Компьютерная графика

Алгоритм Евклида применяется в растровых алгоритмах (например, рисование линий) и при работе с соотношениями сторон экранов.

EuclideanAlgorithm.py
def gcd(a, b):
    """
    Эффективный расчёт НОД (Алгоритм Евклида).
    Сложность: O(log(min(a, b)))
    """
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

def lcm(a, b):
    """
    Расчёт НОК через НОД.
    """
    if a == 0 or b == 0:
        return 0
    return abs(a * b) // gcd(a, b)

Часто задаваемые вопросы

Да. Математически это делается итеративно: сначала находим результат для первых двух чисел, затем результат используем с третьим числом и так далее. НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).
Согласно международным стандартам, НОД и НОК всегда являются положительными числами. При вводе отрицательных чисел мы используем их абсолютные значения (модуль).
Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самих себя (например: 2, 3, 5, 7, 11, 13...). Они являются «строительными блоками» всех остальных чисел.
НОД(a, 0) = |a|. То есть наибольшим общим делителем будет абсолютное значение ненулевого числа. НОК с нулем обычно считается равным 0.
Обычные калькуляторы редко поддерживают функции теории чисел. Наш инструмент использует профессиональные алгоритмы, поддерживает разложение на множители и показывает ход решения, что полезно для обучения.
Лиана Арифметова
Создатель

Лиана Арифметова

Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».