Интерполяция и аппроксимация

Универсальный инструмент для восстановления данных, построения моделей и прогнозирования. Линейная, полиномиальная и сплайн-интерполяция в одном месте.

Загрузка калькулятора...

Метода

100%

Точность

MHK

Аппроксимация

PDF

Экспорт

Интерполяция

Интерполяция — это процесс нахождения неизвестных промежуточных значений некоторой функции по имеющемуся дискретному набору её известных значений. Главное требование: интерполяционная функция должна проходить строго через все заданные точки (узлы).

Свойства:

Ошибка в узлах равна 0
Чувствительна к выбросам (шуму)
Используестя для восстановления данных

Аппроксимация

Аппроксимация (приближение) — это построение функции, которая проходит "как можно ближе" к точкам, но не обязательно через них. Это позволяет сглаживать случайные ошибки измерений.

Свойства:

Минимизирует общую ошибку (обычно сумму квадратов)
Устойчива к шуму
Идеальна для моделирования трендов

Обзор методов

📏

Линейная интерполяция

Самый простой метод, соединяющий соседние точки отрезками прямых. Предполагает, что между узлами функция меняется линейно.

f(x) = y₀ + (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀) * (x - x₀)

Применение: таблицы, простые графики, заполнение пропусков в рядах данных.

📐

Полиномиальная (Лагранж)

Строит полином степени N-1, проходящий через все N точек. Обеспечивает гладкую функцию, описываемую одной формулой.

Внимание: При большом количестве точек возникает "эффект Рунге" — сильные колебания полинома на краях интервала. Для N > 10 лучше использовать сплайны.

〰️

Кубический сплайн

Золотой стандарт интерполяции. Функция разбивается на отрезки, где каждый участок описывается полиномом 3-й степени. Сплайны "сшиваются" в узлах так, чтобы сохранялась гладкость (непрерывность первой и второй производной).

✅ Нет осцилляций
✅ Высокая точность
✅ Естественный вид кривой
✅ Стандарт в инженерии

Интерполяция vs Аппроксимация

Ключевое отличие: интерполяция проходит точно через точки, аппроксимация — сглаживает их.

Когда использовать интерполяцию

• Если данные точны и не содержат шума (табличные значения).
• Если нужно точное восстановление значений в узлах.
• Для увеличения разрешения изображений или аудио.
• При построении гладких траекторий (сплайны).

Когда использовать аппроксимацию (МНК)

• Экспериментальные данные с погрешностями измерения.
• Поиск физических законов и зависимостей (тренды).
• Задача прогнозирования (регрессия).
• Необходимость компактного описания большого набора данных простой формулой.

Часто задаваемые вопросы

Это явление, когда при использовании полинома высокой степени для интерполяции возникают сильные колебания (осцилляции) на краях интервала. Именно поэтому для большого количества точек лучше использовать сплайны, а не один глобальный полином.

С большой осторожностью. Интерполяция хорошо работает внутри диапазона данных (между min и max X), но экстраполяция (выход за пределы) часто дает совершенно неверные, уходящие в бесконечность результаты, особенно для полиномов.

Зависит от задачи. Если нужно восстановить гладкую физическую зависимость — лучше всего кубический сплайн. Если зависимость заведомо линейная (на малых участках) — линейная интерполяция. Для физических экспериментов с шумом лучше вообще не интерполировать, а аппроксимировать методом наименьших квадратов.

Он строит такую линию (или кривую), чтобы сумма квадратов расстояний от всех точек данных до этой линии была минимальной. Это позволяет игнорировать случайные выбросы и видеть главную тенденцию.

Создатель

Лиана Арифметова

Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».

Калькулятор предоставляется в ознакомительных целях. Разработчики не несут ответственности за возможные ошибки в расчетах при использовании инструмента в критически важных инженерных или финансовых задачах. Всегда проверяйте результаты альтернативными методами.