МАТ-СЛАУМетод Гаусса · partial pivotдо 6×6 · пошаговое решениеревизия 2026-05-04

Решатель систем линейных уравнений

Q: Что такое метод Гаусса?

Алгоритм решения СЛАУ через приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду. Состоит из прямого хода (исключение переменных) и обратного хода (подстановка сверху вниз). Универсален для любой системы.

Q: Когда система имеет единственное решение?

Когда определитель матрицы коэффициентов A не равен нулю. Эквивалентно: ранг A = ранг расширенной матрицы [A|B] = n. Геометрически — n плоскостей в n-мерном пространстве пересекаются в одной точке.

Q: Когда у системы нет решений?

Когда ранг A меньше ранга [A|B]. Уравнения противоречат друг другу. В процессе Гаусса появляется строка 0 = c, где c ≠ 0. Геометрически — плоскости не имеют общей точки.

Q: Когда решений бесконечно много?

Когда ранг A = ранг [A|B] меньше n. Есть свободные переменные, решение параметрическое. Геометрически — плоскости пересекаются по прямой или плоскости.

Q: В чём разница между методом Гаусса и Гаусса-Жордана?

Гаусс приводит матрицу к верхнетреугольному виду, затем обратная подстановка. Гаусс-Жордан идёт дальше — зануляет элементы и выше диагонали, получая единичную матрицу. Нужен для обратной матрицы.

Q: Что такое partial pivoting?

Частичный выбор ведущего элемента: на каждом шаге прямого хода выбираем в колонке строку с максимальным по модулю элементом и переставляем её наверх. Уменьшает ошибки округления при делении на малые числа.

Q: Можно ли решать системы с прямоугольной матрицей?

Калькулятор решает только квадратные системы (n×n). Для n меньше m (больше неизвестных) — бесконечно много решений. Для n больше m (больше уравнений) — обычно нет точного решения, ищут наименьшие квадраты.

Q: Какая точность расчёта?

Внутренние вычисления с точностью double (около 15 знаков). Результат округляется до 4 знаков после запятой для удобства. Для символьных точных решений используйте Wolfram Alpha или SymPy.

Q: Можно ли ввести дроби или отрицательные числа?

Отрицательные — через дефис: -2, -0.5. Дроби — в десятичной записи: 0.5 вместо 1/2, 0.333 вместо 1/3. Комплексные числа не поддерживаются.

Q: Что такое метод Крамера и почему не он?

xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), где Aᵢ — матрица A с заменённой i-й колонкой на B. Работает только при det(A) ≠ 0. Вычислительно дорогой: O(n·n!). Для n больше 3 практически не используется.

Решайте СЛАУ от 2×2 до 6×6 методом Гаусса онлайн. Пошаговый вывод каждого преобразования. Определяет единственное решение, бесконечное множество и несовместность.

⏱ ~10 сек · 6×6 · свойства решений · share URL

Отчёт · МАТ-СЛАУ|точность 1e-10

calcal.ru / linear-equation-solver

Загрузка калькулятора…

2–6

Размерность

O(n³)

Сложность

3

Типа решения

Gauss

Метод

Что такое система линейных уравнений

ССЛАУ — это набор n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, …, xₙ. В матричной форме: A · x = B, где A — матрица коэффициентов n×n, x — вектор неизвестных, B — вектор свободных членов. Решить СЛАУ — найти такие значения x, что все уравнения одновременно верны.

ПРИМЕР 3×3

2x₁ + x₂ − x₃ = 8
−3x₁ − x₂ + 2x₃ = −11
−2x₁ + x₂ + 2x₃ = −3

РЕШЕНИЕ

x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = −1

Метод исключения неизвестных, носящий сегодня имя Гаусса, был известен ещё китайским математикам 2000 лет назад — он описан в трактате «Девять глав о математическом искусстве».— Карл Фридрих Гаусс, XIX век

Три типа решений

Любая квадратная СЛАУ имеет ровно один из трёх исходов:

Тип	Условие	Интерпретация
Единственное	det(A) ≠ 0	Матрица невырожденная. Ровно один набор значений x₁, x₂, …, xₙ.
Бесконечное	rang(A) = rang(A\|B) < n	Есть свободные переменные — решение параметрическое.
Нет решений	rang(A) < rang(A\|B)	Система противоречива: в процессе Гаусса получаем 0 = c, где c ≠ 0.

Основные методы решения

Кроме Гаусса есть ещё несколько классических методов. Выбор зависит от размера системы, численной устойчивости и задачи.

Алгоритм Гаусса

Прямой ход: приводим расширенную матрицу [A | B] к верхнетреугольному виду. Для каждой колонки i: выбираем ведущий элемент (максимум по модулю — для устойчивости), при необходимости меняем строки местами, зануляем элементы ниже. Обратный ход: начиная с xₙ, подставляем найденные значения снизу вверх и находим xₙ₋₁, …, x₁.

ФОРМУЛЫ

Фактор элиминации: f = A[k][i] / A[i][i]
Вычитание строк: A[k][j] −= f · A[i][j]
Обратный ход: xᵢ = (bᵢ − Σ aᵢⱼ · xⱼ) / aᵢᵢ

Где применяются СЛАУ

Физика и инженерия: расчёт сил в фермах, электрические цепи (законы Кирхгофа), тепловой поток. Экономика: модель межотраслевого баланса Леонтьева, линейное программирование. Компьютерная графика: преобразования координат, матрицы поворота, перспективы. Машинное обучение: линейная регрессия, нейронные сети (матрицы весов). Криптография: шифр Хилла, атаки на схемы с линейной структурой.

ИСТОЧНИКИ

Линейная алгебра. В.А. Ильин, Г.Д. Ким. МГУ. 2007.
Introduction to Linear Algebra. Gilbert Strang. MIT OpenCourseWare. 2016. ↗ ссылка
Numerical Linear Algebra. Trefethen, Bau. SIAM. 1997.
Девять глав о математическом искусстве. неизвестные авторы. Древний Китай, династия Хань. I век до н.э..

РАЗДЕЛ 04 · НЮАНСЫ

Шесть методов линейной алгебры

Метод Гаусса — не единственный способ. Вот обзор арсенала.

01

Метод Гаусса

Прямой ход: приводим матрицу к ступенчатому виду. Обратный: находим xᵢ. O(n³). Универсален — решает любую СЛАУ.

02

Метод Крамера

xᵢ = det(Aᵢ) / det(A). Работает только при det(A) ≠ 0. Удобен для 2×2 и 3×3, но дорог: O(n·n!).

03

Матричный метод

x = A⁻¹ · B. Нужна обратная матрица. Элегантен математически, но на практике Гаусс быстрее.

04

LU-разложение

A = L · U. Решаем Ly = b, затем Ux = y. Эффективно для многих систем с общей A. O(n³) один раз.

05

Якоби / Зейдель

Итерационные методы для больших разреженных систем (100×100+). Сходимость при диагональном преобладании.

06

QR-разложение

A = Q · R, где Q ортогональная, R верхнетреугольная. Устойчив для плохо обусловленных матриц. Используется в ML.

РАЗДЕЛ 05 · ПЛАН ДЕЙСТВИЙ

Как пользоваться решателем

Три шага от ввода матрицы до разбора пошагового решения.

01ВВОД

Введите коэффициенты

Укажите размерность 2×2 … 6×6. Заполните все aᵢⱼ (коэффициенты при xⱼ в i-м уравнении) и bᵢ (свободные члены). Пустые поля не допускаются.

02РАСЧЁТ

Нажмите «Решить»

Калькулятор применяет метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента (partial pivoting) — это улучшает численную устойчивость при делении на малые числа.

03РАЗБОР

Изучите шаги

Разверните «Показать ход решения» — увидите все элементарные преобразования строк (swap, eliminate) с промежуточными матрицами. Та же техника, что и на экзамене.

ЧАСТЫЕ ВОПРОСЫ

Часто задаваемые вопросы