Калькулятор СЛУ методом Гаусса

Профессиональный инструмент для точного решения систем линейных алгебраических уравнений произвольной размерности. Пошаговый вывод, анализ ранга и проверка на совместность.

Загрузка калькулятора...

Гаусс

Алгоритм

O(n³)

Сложность

Step-by-step

Решение

100%

Точность

Система линейных уравнений (СЛУ)

Система линейных уравнений — это совокупность уравнений, где каждое уравнение первой степени относительно переменных. Формально она имеет вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

В профессиональной практике система записывается в матричном виде Ax = b, где:

A — матрица коэффициентов системы;
x — вектор неизвестных;
b — вектор свободных членов.

Для применения метода Гаусса используется расширенная матрица [A|b], с которой и работает данный калькулятор.

Метод Гаусса

Метод Гаусса — это алгоритм решения СЛУ, основанный на приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Это "золотой стандарт" в вычислительной линейной алгебре.

Алгоритм состоит из двух этапов:

Прямой ход (Forward Elimination): Приведение матрицы к верхнетреугольному (ступенчатому) виду. Мы последовательно исключаем неизвестные из уравнений.
Обратный ход (Back Substitution): Нахождение неизвестных, двигаясь от последнего уравнения к первому.

ℹ️Элементарные преобразования

Перестановка двух строк местами.
Умножение строки на ненулевое число.
Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.

Эти операции не меняют множество решений системы.

История и стандарты

Хотя метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса, его идеи использовались еще в древнем Китае (метод «прямоугольных таблиц»). Сегодня это базовый алгоритм в MATLAB, NumPy/LAPACK и инженерных CAD-системах.

Численная устойчивость

Профессиональные реализации используют выбор главного элемента (pivoting) — на каждом шаге выбирается коэффициент с наибольшим модулем. Это минимизирует ошибки округления в компьютерах. Наш калькулятор реализует эту стратегию.

Ступенчатый вид

Ключевое состояние матрицы, по которому определяется ранг системы и её совместность. Нулевые строки (если есть) оказываются внизу.

Типы решений системы

Калькулятор автоматически классифицирует систему на основе анализа рангов матрицы коэффициентов (rang A) и расширенной матрицы (rang A|B).

✓

Единственное решение

Совместная и определённая

Ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных (n).
rang(A) = rang(A|B) = n

∞

Бесконечно решений

Совместная и неопределённая

Ранги равны, но меньше числа неизвестных. Появляются "свободные переменные", которым можно придавать любые значения.
rang(A) = rang(A|B) < n

∅

Нет решений

Несовместная система

Ранг матрицы коэффициентов меньше ранга расширенной матрицы. Это означает наличие противоречий (например, 0 = 5).
rang(A) < rang(A|B)

Сравнение методов

Почему метод Гаусса является основным инструментом профессионалов.

vs Крамер

Метод Крамера требует вычисления n+1 определителей. При n=10 это миллионы операций. Гаусс справляется мгновенно. Крамер неприменим для неквадратных систем.

vs Гаусс-Жордан

Гаусс-Жордан приводит матрицу к диагональному виду. Это требует больше операций (примерно в 1.5 раза). Гаусс эффективнее благодаря обратному ходу.

vs LU-разложение

LU — это по сути "запомненный" ход метода Гаусса. Если нужно решать одну систему много раз с разными "b", LU выигрывает. Для одной системы — паритет.

vs Обратная матрица

Решение через X = A⁻¹B численно менее устойчиво и требует больше операций, чем прямое решение методом Гаусса.

Практическое применение

Инженерия: Расчет статически определимых конструкций, анализ электрических цепей.

Экономика: Межотраслевые балансы, линейные модели спроса/предложения.

Data Science: Линейная регрессия, оптимизация, компьютерное зрение.

Часто задаваемые вопросы

Он реализует полный алгоритм с анализом рангов, частичным выбором главного элемента (pivoting) для численной устойчивости и предоставляет подробный пошаговый вывод, пригодный для инженерной документации.

Да. Если определитель равен нулю, калькулятор не выдаст ошибку, а корректно определит, имеет ли система бесконечно много решений или не имеет их вовсе, и покажет фундаментальную систему решений (если применимо).

Это система, где малые изменения коэффициентов приводят к огромным изменениям в ответе. Это происходит, когда прямые, описываемые уравнениями, почти параллельны. При расчете таких систем возможна потеря точности.

При делении на очень малые числа (близкие к нулю) в компьютере возникают огромные ошибки округления. Выбор максимального элемента в столбце (pivoting) предотвращает это и гарантирует устойчивость алгоритма.

Да, калькулятор генерирует пошаговое решение, которое полностью соответствует требованиям высшей школы и университетских курсов линейной алгебры.

Совместная система имеет хотя бы одно решение. Несовместная система решений не имеет (уравнения противоречат друг другу).

Создатель

Лиана Арифметова

Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».