Калькулятор матриц

Профессиональный инструмент для нахождения определителя, обратной матрицы, ранга, умножения и спектрального анализа.

Загрузка калькулятора...

Зачем нужен этот инструмент?

Линейная алгебра лежит в основе современной науки, инженерии и анализа данных. Матрицы используются в численных методах, машинном обучении, компьютерной графике, квантовой физике, эконометрике, криптографии и теории управления.

Однако ручные вычисления с матрицами быстро становятся громоздкими и подверженными ошибкам. Профессиональный калькулятор матриц решает эту проблему, предоставляя точные, воспроизводимые и прозрачные вычисления для:

✓Определения свойств матриц
✓Решения систем линейных уравнений
✓Анализа линейных преобразований
✓Исследования спектральных характеристик

Что такое матрица?

Матрица — это прямоугольная таблица элементов (обычно чисел), упорядоченных в строки и столбцы. Матрица размера 𝑚×𝑛 содержит 𝑚 строк и 𝑛 столбцов.

A =

a₁₁	a₁₂	...	a₁ₙ
a₂₁	a₂₂	...	a₂ₙ
⋮	⋮	⋱	⋮
aₘ₁	aₘ₂	...	aₘₙ

Интерпретации матриц

🔄
Линейные преобразования
Отображения векторных пространств (поворот, растяжение, сдвиг).
🔢
Системы уравнений
Компактная запись коэффициентов СЛАУ.
🕸️
Графы и сети
Матрицы смежности, описывающие связи между узлами.
🤖
Data Science
Веса нейронных сетей и преобразования данных.

Ключевые операции

ΔОпределитель (Determinant)

Скалярная характеристика квадратной матрицы. Обозначается как det(A) или |A|.

Что показывает:

Обратима ли матрица (если det ≠ 0).
Коэффициент изменения объема при линейном преобразовании.
Ориентацию преобразования (знак).

Пример 2x2:

det(A) = ad - bc

Для матриц большего размера используются разложение по строке, метод Гаусса или LU-разложение.

-1Обратная матрица

Матрица A⁻¹, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу: A · A⁻¹ = I.

Применение:

Решение систем линейных уравнений.
В экономике (модель Леонтьева).
В компьютерной графике (обратные трансформации).

Существует только для квадратных матриц с
det(A) ≠ 0.

rgРанг матрицы

Максимальное число линейно независимых строк или столбцов. Позволяет определить число решений СЛАУ и выявить зависимость в данных.

×Умножение

Произведение A·B (строка на столбец). Операция не коммутативна: A·B ≠ B·A. Используется для композиции преобразований.

Собственные значения и векторы

Фундаментальное понятие. Число λ — собственное значение, если существует вектор v ≠ 0, такой что:

Av = λv

Устойчивость систем

Анализ систем дифференциальных уравнений и колебаний.

Квантовая механика

Спектр операторов наблюдаемых величин.

Анализ данных (PCA)

Понижение размерности и выделение главных компонентов.

Часто задаваемые вопросы

Результаты подходят для проверки, обучения и вспомогательных расчётов. Для финальных данных в статьях рекомендуется использовать специализированные пакеты (MATLAB, LAPACK) и указывать их в методологии.

Матрица является вырожденной. Обратной матрицы не существует. Если это матрица коэффициентов системы уравнений, то система имеет либо бесконечно много решений, либо не имеет их вовсе.

Текущая версия поддерживает десятичные дроби и целые числа. Работа с комплексными числами и символьными вычислениями планируется в будущих обновлениях.

Используется численный спектральный анализ (QR-алгоритм или аналоги), обеспечивающий высокую точность для большинства практических матриц.

Калькулятор автоматически приводит матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса. Количество ненулевых строк в таком виде и есть ранг матрицы.

Здесь вы получаете не только ответ, но и специализированный интерфейс для матричных операций, плюс возможность найти собственные векторы, что в Excel требует специальных надстроек.

Создатель

Лиана Арифметова

Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».

Калькулятор использует алгоритмы с плавающей точкой (floating point arithmetic). Возможны погрешности округления, свойственные компьютерной арифметике (например, 0.00000000001 вместо чистого 0).