МАТ-МТРлинейная алгебрадо 10×10 · 6 операцийревизия 2026-05-04

Матричный калькулятор

Операции с матрицами: определитель, обратная, транспонирование, умножение, ранг, собственные значения. Пошаговое решение, визуализация.

⏱ ~30 сек · 6 операций · до 10×10 · пошаговое решение

Отчёт · МАТ-МТР|расчёт: аноним

calcal.ru / matrix-calculator

Загрузка калькулятора…

10×10

Макс. размер

6

Операций

O(n³)

Основная сложность

XIX в.

Кэли, Сильвестр

Что такое матрица

ММатрица — прямоугольная таблица чисел (элементов), организованная в строки и столбцы. Обозначается A_m×n. Матрицы — центральный объект линейной алгебры. Применяются в физике, ML, компьютерной графике, экономике, инженерии.

Концепция матриц введена Артуром Кэли (1858). Сегодня без матричных операций не работает ни одна библиотека машинного обучения (TensorFlow, PyTorch, NumPy).

Основные операции

Операция	Символ	Сложность	Применение
Определитель	det(A)	O(n³)	Проверка обратимости, площадь/объём
Обратная	A⁻¹	O(n³)	Решение СЛАУ, линейные преобразования
Транспонирование	Aᵀ	O(n²)	Базовая операция, симметрия
Умножение	A × B	O(n³)	Композиция преобразований
Ранг	rank(A)	O(n³)	Независимость строк/столбцов
Собств. значения	λ	O(n³)	PCA, устойчивость систем

Определитель

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 2×2

det = a·d − b·c

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 3×3 (Сарус)

+ a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂
− a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃

ДЛЯ БОЛЬШИХ · Гаусс

det = произведение элементов на диагонали треугольной формы

Определитель — это число, связанное с матрицей, которое говорит нам, является ли матрица обратимой, и если да — насколько «растягивает» пространство.— Г. Стрэнг, 'Введение в линейную алгебру'

Применение

Физика: тензоры, квантовая механика. ML: нейросети (веса слоёв — матрицы), PCA (собственные значения). Графика: 3D-преобразования (поворот, масштабирование). Экономика: межотраслевой баланс Леонтьева, системы уравнений. Инженерия: анализ устойчивости, метод конечных элементов.

Численные нюансы

Четыре аспекта, на которые обращают внимание при программной работе с матрицами: вырожденность, число обусловленности, устойчивость, алгоритмическая сложность.

ИСТОЧНИКИ

Введение в линейную алгебру. Г. Стрэнг. МЦНМО. 2018.
Matrix Computations. G. Golub, C. Van Loan. Johns Hopkins. 2013.
NumPy — linalg. NumPy team. numpy.org. 2026. ↗ ссылка
SciPy linalg. SciPy team. docs.scipy.org. 2026.

Смотрите также глоссарий математики.

РАЗДЕЛ 04 · НЮАНСЫ

Тонкости работы с матрицами

Четыре момента, которые важно знать при программной работе.

01

Квадратная матрица

Определитель, обратная и собственные значения определены только для квадратных матриц (n × n). Прямоугольные — только ранг, транспонирование, умножение.

02

Вырожденность

Если det(A) = 0 — матрица вырожденная, обратной не существует. Причина: линейно зависимые строки/столбцы, ранг < n.

03

Численная устойчивость

При больших матрицах (>100) и плохом числе обусловленности — накопление ошибок округления. Используйте LU/QR-разложение вместо метода Крамера.

04

Сложность O(n³)

Большинство операций O(n³): матрица 100×100 — миллион операций. Для больших матриц нужны специализированные алгоритмы (Strassen, QR).

РАЗДЕЛ 05 · ПЛАН ДЕЙСТВИЙ

Как использовать калькулятор

Три шага от ввода до интерпретации.

01ВВОД

Введите размеры

Выберите размер матрицы (до 10×10) и введите значения. Поддерживаются дроби, десятичные и отрицательные числа.

02ОПЕРАЦИЯ

Выберите операцию

Определитель, обратная, транспонирование, умножение, ранг, собственные значения. Калькулятор покажет пошаговое решение.

03ПРИМЕНЕНИЕ

СЛАУ и преобразования

Обратная матрица решает СЛАУ: x = A⁻¹·b. Определитель показывает площадь/объём параллелепипеда, натянутого на столбцы.

ЧАСТЫЕ ВОПРОСЫ

Часто задаваемые вопросы

Прямоугольная таблица чисел, организованная в строки и столбцы. Используется в линейной алгебре, физике, ML, графике. Размер m×n (m строк, n столбцов).

Матрица A⁻¹ существует тогда и только тогда, когда det(A) ≠ 0 (матрица невырожденная). Формула A⁻¹ = adj(A) / det(A).

Для 2×2: ad-bc. Для 3×3: правило Саруса. Для больших: метод Гаусса (приведение к треугольной форме, затем произведение диагонали).

Нет. A×B возможно только если число столбцов A = число строк B. Результат имеет размер m×k, где A — m×n, B — n×k. Умножение не коммутативно: A×B ≠ B×A.

Максимальное число линейно независимых строк (или столбцов). Определяет размерность пространства, натянутого на векторы. rank(A) ≤ min(m, n).

Характеристические числа матрицы. Применяются в PCA (снижение размерности), анализе устойчивости систем, квантовой механике, Google PageRank.

A·x = b → x = A⁻¹·b, если A невырожденная. Для больших систем предпочтительны методы Гаусса или LU-разложение (без явного вычисления A⁻¹).

Для матриц >100×100 и плохо обусловленных — накапливаются ошибки округления float64. Используйте QR-разложение или SVD для устойчивости. NumPy/SciPy делают это автоматически.

Был ли этот калькулятор полезен?

ревизия · 4 мая 2026

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ

Инструмент справочный — не заменяет эксперта

Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.

Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.

Профессиональные решения — медицинские, финансовые, инженерные — должны приниматься только после консультации с квалифицированным специалистом. Не используйте автоматический расчёт как единственное основание для важных решений.

Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший из-за использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию результатов.

СМЕЖНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

Матричный калькулятор

Что такое матрица

Основные операции

Определитель

Применение

Численные нюансы

Тонкости работы с матрицами

Как использовать калькулятор

Введите размеры

Выберите операцию

СЛАУ и преобразования

Часто задаваемые вопросы

Лиана Арифметова

Инструмент справочный — не заменяет эксперта

Похожие калькуляторы

Калькулятор векторов 2D и 3D

Калькулятор СЛАУ (метод Гаусса)

Калькулятор тригонометрии

Калькулятор оптимизации: симплекс, рюкзак, генетика

Калькулятор дробей (смешанные и неправильные)

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор комбинаторики

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор производных и интегралов

Калькулятор чисел Фибоначчи

Калькулятор золотого сечения

Калькулятор сумм рядов

Калькулятор Монте-Карло симуляции: оценка рисков

Калькулятор процентов

Калькулятор научной нотации