calcal.ru
АЛГ-ГСС-002O(n³)СЛАУревизия 2026-05-04

Метод Гаусса — решение СЛАУ

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Прямой и обратный ход, ступенчатый вид, единственное решение и бесконечно много.

⏱ ~30 сек · алгоритм · O(N)
Отчёт · АЛГ-ГСС-002|алгоритм / численный метод
calcal.ru / metod-gaussa-reshenie-slau-onlajn
Загрузка калькулятора…
O(n³)
Сложность
1810
Год Гаусса
LU
Разложение
3
Преобразования

Принцип метода Гаусса

Метод Гаусса — самый популярный метод решения систем линейных уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), хотя элементы метода применялись ещё в Древнем Китае.

Идея: с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы к треугольному (ступенчатому) виду, после чего легко найти все неизвестные обратным ходом.

Прямой ход (приведение к треугольному виду)

  1. Выбираем ведущий элемент в первом столбце (обычно первый ненулевой).
  2. Используя его, обнуляем все остальные элементы первого столбца ниже него (вычитаем кратные первой строки из остальных).
  3. Переходим ко второму столбцу, повторяем.
  4. Продолжаем до последней строки.

Элементарные преобразования:

  • Умножение строки на число ≠ 0.
  • Прибавление к строке другой строки, умноженной на число.
  • Перестановка двух строк.

Обратный ход

После прямого хода получили треугольный вид:

a₁₁·x₁ + a₁₂·x₂ + a₁₃·x₃ = b₁ a₂₂·x₂ + a₂₃·x₃ = b₂ a₃₃·x₃ = b₃

Из последнего уравнения: x₃ = b₃/a₃₃. Подставляем во второе: x₂ = (b₂ − a₂₃·x₃)/a₂₂. Аналогично x₁.

Случаи решений

  • Единственное решение: матрица треугольная с ненулевой диагональю. Все x определяются однозначно.
  • Нет решения: появилась строка [0 0 0 | b], где b ≠ 0 (противоречие 0 = b).
  • Бесконечно много: появилась строка [0 0 0 | 0] — уравнение тривиально, есть свободный параметр (общее решение зависит от него).
ИСТОЧНИКИ
  1. Кудрявцев Л.Д. — Курс математического анализа. Л.Д. Кудрявцев. 2003, ред. 2024.
  2. Strang G. — Introduction to Linear Algebra, 5th ed.. Gilbert Strang. 2016.
  3. Cormen, Leiserson, Rivest, Stein — CLRS, 4th ed.. CLRS. 2022.
ЧАСТЫЕ ВОПРОСЫ

Часто задаваемые вопросы

Метод последовательного исключения неизвестных в системе линейных уравнений (СЛАУ). Назван в честь Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Применим к любой совместной СЛАУ. Сложность O(n³) для квадратной матрицы n×n. Используется в Excel, MATLAB, NumPy (numpy.linalg.solve).
Прямой ход: с помощью элементарных преобразований (умножение строки на число ≠ 0, прибавление к строке другой строки) приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду (treugolnoy). Обратный ход: из последнего уравнения находим x_n, потом из предпоследнего x_(n-1) и т.д. до x_1.
1) Если в ходе элементарных преобразований получается строка [0 0 0 | b], где b ≠ 0 — система НЕСОВМЕСТНА (нет решения). 2) Если получается строка [0 0 0 | 0] — этот линейный комбинация других → система ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНО МНОГО решений (один свободный параметр). 3) Если матрица треугольная с ненулевой диагональю — единственное решение.
O(n³) для квадратной матрицы n×n. Для системы 100×100 — 10^6 операций (мгновенно на компьютере). Для 1000×1000 — 10^9 операций (1-10 секунд). Для очень больших систем (миллионы переменных) используются итерационные методы: Якоби, Гаусс-Зейдель, Метод Сопряжённых Градиентов.
Гаусс: O(n³), универсальный, работает для любых СЛАУ. Крамер: O(n!) для определителей напрямую, O(n³ × n) с разложением Лапласа. Для маленьких систем (n=2,3) Крамер удобнее (формулы). Для больших — только Гаусс. На компьютере всегда Гаусс или его улучшенная версия LU-разложение.
LU-разложение — это представление матрицы A = L·U, где L — нижняя треугольная, U — верхняя. По сути, это запись прямого хода Гаусса в матричном виде. Преимущество: если потом нужно решить много СЛАУ с той же A, но разными b, то LU считается ОДИН раз (O(n³)), а каждое решение — O(n²). В numpy.linalg.lu.
Лиана Арифметова
АВТОРverifiedред. calcal.ru

Лиана Арифметова

Создатель и главный редактор

Миссия: демократизировать сложные расчёты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».

Mathematical Engineering · МФТИ · редактирует каталог с 2012 года

Был ли этот калькулятор полезен?

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ

Инструмент справочный — не заменяет эксперта

Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.

Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.

Профессиональные решения — медицинские, финансовые, инженерные — должны приниматься только после консультации с квалифицированным специалистом. Не используйте автоматический расчёт как единственное основание для важных решений.

Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший из-за использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию результатов.

ТЕГИ:#IT и разработка#Алгоритмы#IT#программирование#разработка#технологии#алгоритмы#сложность#код#Big O#O(n)#O(log n)#временная сложность#пространственная сложность#калькулятор#бесплатно#онлайн#расчёт