Что такое интерполяция
Интерполяция — метод приближённого нахождения значения функции в промежуточной точке по известным значениям в нескольких точках. Один из самых распространённых численных методов.
Простой пример: знаем, что в 9:00 температура была 15°C, в 10:00 — 18°C. Какая была в 9:30? Линейная интерполяция: 16,5°C (среднее).
Формула линейной интерполяции
y = y₀ + (y₁ − y₀) × (x − x₀) / (x₁ − x₀)
Это уравнение прямой через две точки (x₀, y₀) и (x₁, y₁).
Пример: x₀=0, y₀=10; x₁=10, y₁=30. Найти y при x=4.
y = 10 + (30 − 10) × (4 − 0) / (10 − 0) = 10 + 20 × 0,4 = 10 + 8 = 18.
Методы интерполяции
| Метод | Точек | Степень | Гладкость |
|---|---|---|---|
| Линейная | 2 | 1 | C⁰ |
| Квадратичная | 3 | 2 | C⁰ или C¹ |
| Кубическая | 4 | 3 | C¹ или C² |
| Лагранжа | N | N-1 | C⁰ |
| Кубический сплайн | N | 3 (по сегментам) | C² |
| Бесселя | N | 3 (по сегментам) | C¹ |
Применение интерполяции
- Графика: масштабирование изображений (билинейная, бикубическая интерполяция), Photoshop, Lightroom.
- Анимация: ключевые кадры в After Effects, Blender — между ключами интерполяция.
- Игры: плавность движения, физика, кривые сплайн-движения.
- Аудио: ресемплинг (44.1 → 48 кГц), digital audio workstations.
- Инженерия: таблицы свойств материалов (плотность, теплоёмкость) — между табличными значениями.
- Финансы: построение кривой доходности облигаций, оценка деривативов.
- Картография: цифровые карты высот, GPS.
- Машинное обучение: imputation (заполнение пропущенных значений в данных).
ИСТОЧНИКИ
- Press W., Teukolsky S., Vetterling W., Flannery B. — Numerical Recipes. Numerical Recipes. 2007.
- Кудрявцев Л.Д. — Курс математического анализа. Л.Д. Кудрявцев. 2003, ред. 2024.
