Метод Монте-Карло онлайн

Принцип Монте-Карло

Метод Монте-Карло — численный метод, использующий случайные выборки для решения математических задач. Назван в честь казино в Монако. Разработан в 1940-х в Лос-Аламосе.

Пионеры: Стэн Улам (вдохновлённый игрой в карты), Джон фон Нейман, Николас Метрополис. Изначально применялся для расчёта термоядерных реакций, потом распространился на физику, финансы, AI, компьютерную графику.

Принцип: вместо точного аналитического решения генерируем N случайных выборок, считаем результат для каждой, усредняем. Точность растёт как 1/√N.

Классический пример: расчёт π

# Python pseudo-code import random N = 1_000_000 M = 0 for i in range(N): x = random.uniform(-1, 1) y = random.uniform(-1, 1) if x*x + y*y <= 1: M += 1 pi_est = 4 * M / N # pi_est ≈ 3.14159...

Логика: квадрат [-1,1]×[-1,1] имеет площадь 4. Круг радиуса 1 — π. Точки распределены равномерно → доля в круге = π/4. Поэтому π ≈ 4·M/N.

Применение в финансах

• Оценка опционов: барьерные, азиатские, лестничные опционы — точной формулы нет. Симулируется N траекторий цены, усредняется выплата.
• VaR (Value at Risk): на сколько может упасть портфель за день/месяц с вероятностью 95% или 99%. Симулируются N сценариев изменений цен.
• Дефолтные риски: портфель облигаций — какова вероятность, что K из 100 эмитентов объявят дефолт.
• Стресс-тестирование: банковские ЦБ требуют от банков прогнозов худших сценариев.

Расширения метода

• Метрополис-Гастингс: семплирование из сложных распределений. Основа MCMC.
• Гиббс-семплирование: для многомерных распределений.
• Quasi Monte Carlo: низкодискрепантные последовательности (Соболев, Холтон). Сходимость O(1/N) вместо O(1/√N).
• Reinforcement Learning: метод Монте-Карло в обучении (например, AlphaGo использует MCTS — Monte Carlo Tree Search).
• Importance Sampling: уменьшение дисперсии за счёт целенаправленной генерации выборок.