Геодезическая задача: как это устроено
Прямая геодезическая задача: по координатам точки X₁, Y₁, дирекционному углу α и горизонтальному расстоянию S найти X₂ = X₁ + S·cos α и Y₂ = Y₁ + S·sin α. Обратная: по двум точкам найти S = √(ΔX² + ΔY²) и α = arctg(ΔY/ΔX) с учётом четверти по знакам приращений. В геодезии ось X направлена на север, Y — на восток, а дирекционный угол отсчитывают от северного направления оси X по часовой стрелке — поэтому в формулах cos и sin стоят «наоборот» относительно математической системы. Пример: из точки (1 000; 2 000) по α = 45° на 141,42 м — (1 100; 2 100).
Четверть определяется знаками приращений: ΔX > 0, ΔY > 0 — СВ, α = r; ΔX < 0, ΔY > 0 — ЮВ, α = 180° − r; ΔX < 0, ΔY < 0 — ЮЗ, α = 180° + r; ΔX > 0, ΔY < 0 — СЗ, α = 360° − r, где r — румб, острый угол от ближайшего направления оси X. Калькулятор считает по atan2 и выдаёт дирекционный угол, румб с названием четверти и приращения — то, что нужно для ведомости координат теодолитного хода, разбивочного чертежа и выноса точек в натуру.
На плоскости задачи решаются в проекции — МСК, Гаусса — Крюгера, строительной системе координат площадки; результат не зависит от кривизны Земли, пока стороны короче нескольких километров и находятся в одной зоне. Для точек по широте и долготе на большие расстояния нужен эллипсоид: Москва, Красная площадь — Санкт-Петербург, Дворцовая площадь — 636 км, азимут 320,11° (режим «Расстояние и азимут»). Контроль: сумма приращений замкнутого хода равна нулю, а обратная задача от найденной точки возвращает исходные S и α.
Четверти, румбы и дирекционные углы: пример из точки (1 000; 2 000)
S = 141,42 м во всех четырёх направлениях; знаки приращений однозначно задают четверть, а румб — острый угол от ближайшего направления оси X.
Когда плоских формул хватает: метры в градусе, минуте и секунде
Если исходные данные — широта и долгота, приращения в метрах получают через эту таблицу (до 10–20 км), дальше — расчёт на эллипсоиде.
Установить следующие государственные системы координат: геодезическая система координат 2011 года (ГСК-2011) — для использования при осуществлении геодезических и картографических работ; общеземная геоцентрическая система координат «Параметры Земли 1990 года» (ПЗ-90.11) — для использования в целях геодезического обеспечения орбитальных полётов и решения навигационных задач.— Постановление Правительства РФ от 24.11.2016 № 1240, п. 1
Как считать и что проверить
- Дирекционный угол — от оси X (север) по часовой; в математической системе угол считают от оси абсцисс против часовой — формулы cos/sin меняются местами.
- Определяйте четверть по знакам ΔX и ΔY, а не по одному арктангенсу: калькулятор использует atan2 и не путает СВ с ЮЗ.
- Ведомость хода контролируйте суммой приращений: Σ ΔX и Σ ΔY замкнутого полигона должны быть нулевыми в пределах допуска.
- На расстояниях больше 5–10 км плоские формулы в одной зоне дают ошибку до 0,14 % — переходите к расчёту на эллипсоиде.
Остальные преобразования — на страницах серии ниже и в полном конвертере координат: градусы ↔ гмс, wgs 84 ↔ ск-42, гаусс — крюгер.
- ГОСТ Р 51794-2008 «ГНСС. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек» — проекция Гаусса — Крюгера, 6-градусные зоны, параметры перехода. Росстандарт. 2008.
- Федеральный закон от 13.07.2015 № 218-ФЗ «О государственной регистрации недвижимости» и приказ Росреестра от 23.10.2020 № П/0393 — координаты характерных точек границ, местные системы координат (МСК). Росреестр. 2020.
- Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with Application of Nested Equations — алгоритм расстояния и азимутов на эллипсоиде. Vincenty T.. Survey Review 23(176). 1975.
