Расчёт балки на прогиб

Что такое прогиб и зачем его считать

ППрогиб — это вертикальное перемещение оси балки под действием нагрузки. Если прочность отвечает на вопрос «не сломается ли балка?», то прогиб — на вопрос «не «играет» ли она и не потрескается ли потолок?». Между двумя проверками — конкуренция: на коротких пролётах критична прочность, на длинных — жёсткость. Калькулятор ниже считает обе проверки одновременно по СП 16.13330.2017 для стали и СП 22.13330 для геотехнических нагрузок.

История расчёта на изгиб

Формула прогиба восходит к трудам Леонарда Эйлера (1744) и Якоба Бернулли (1694), которые вывели дифференциальное уравнение изогнутой оси балки EI·d²y/dx² = M(x). Современный нормативный подход в России основан на двух СП: СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» (актуализированный СНиП II-23-81*) и СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия», где в табл. Е.1 приведены допустимые прогибы для всех типов конструкций — от полов в офисах до подкрановых балок и вантовых ферм. Для дерева — отдельный СП 64.13330.2017.

Прогибы элементов конструкций от постоянных и временных длительных нагрузок не должны превышать предельных, установленных требованиями технологическими, конструктивными, физиологическими и эстетико-психологическими.— СП 20.13330.2016, табл. Е.1

Базовые формулы для шарнирной балки

Самый частый случай — балка на двух опорах с равномерно распределённой нагрузкой q (кН/м) по всей длине пролёта L (м). Прогиб посередине:

Прочность по нормальным напряжениям проверяется отдельно:

Другие схемы — другие коэффициенты

Для консоли с распределённой нагрузкой f = qL⁴/(8EI) — в 60 раз больше, чем у шарнирной с тем же сечением. Для защемлённой с двух сторон — наоборот, f = qL⁴/(384EI), то есть в 5 раз меньше. Поэтому защемление — самый «жёсткий» вариант, а консоль — самый «гибкий». Промежуточный случай — балка с одной шарнирной и одной защемлённой опорой — даёт fmax ≈ qL⁴/185EI.

Выбор профиля по сортаменту

Стандартный двутавр в России — по ГОСТ 8239-89 (горячекатаный) или ГОСТ 26020-83 (нормальный/широкополочный). Швеллер — ГОСТ 8240-97. Размер указывается в сантиметрах высоты: I20 = двутавр 200 мм, C16 = швеллер 160 мм. Калькулятор использует сокращённый сортамент I10–I40 и C5–C30 — это покрывает 95% случаев частного и малоэтажного строительства.

Для нестандартных сечений (квадратная труба, прямоугольный брус) калькулятор автоматически рассчитывает Ix и Wx по геометрии: для квадратной трубы B×H×t — Ix = (BH³ − (B−2t)(H−2t)³)/12. Если вы используете калькулятор строительной механики, он добавляет проверки на устойчивость колонны и местную устойчивость стенки.

Нормы прогиба по типам конструкций

Допустимые прогибы по СП 20.13330.2016 табл. Е.1 зависят от назначения. Чем чувствительнее отделка к деформациям (плитка, мрамор, штукатурка по сетке), тем жёстче требование:

Расчётные сопротивления Ry для строительных сталей

По СП 16.13330.2017 табл. В.5. Для бытового строительства достаточно Ст3 (С235); для пролётов 6+ м экономически выгоднее С345 — она в 1,4 раза прочнее при той же цене за килограмм погонажа.

Полный расчёт стальной фермы требует проверки на устойчивость плоской формы изгиба (СП 16 п. 8.4), местную устойчивость стенки (п. 8.5) и узловых соединений на сварку (п. 14). Для одиночной балки это излишне — но если проектируете перекрытие пролётом более 9 м, обратитесь к калькулятору строительной механики или закажите проект у инженера-конструктора.

Глоссарий инженерных терминов.