Как устроена двоичная система
Вдвоичной системе всего две цифры — 0 и 1, а каждый разряд вдвое «тяжелее» соседнего справа: 1, 2, 4, 8, 16 и так далее. Число записывают как сумму таких степеней двойки: единица в разряде означает, что степень входит в сумму, ноль — что не входит. Для 127 старший разряд — 6-й (2⁶ = 64), поэтому двоичная запись занимает 7 бит: 1111111.
Компьютеры хранят числа именно так: у транзистора и ячейки памяти два устойчивых состояния, и их удобно считать нулём и единицей. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы — краткая запись тех же бит: одна восьмеричная цифра заменяет три бита, шестнадцатеричная — четыре.
Как перевести 127 в двоичную систему делением на 2
Число делят на 2 с остатком, частное снова делят на 2 — и так, пока частное не станет нулём. Остатки, выписанные снизу вверх, дают двоичную запись: первый остаток — младший разряд, последний — старший.
Остатки снизу вверх: 1 1 1 1 1 1 1. Значит, 127₁₀ = 1111111₂.
127 через степени двойки
Второй способ — вычитать наибольшие степени двойки, которые помещаются в число. Каждая единица в записи соответствует одной из них; разряды нумеруют справа налево, начиная с нуля.
127 = 2⁷ − 1, поэтому все 7 разрядов равны единице. Следующее число, 128, — степень двойки: 10000000.
Проверка: из двоичной обратно в десятичную
Умножьте каждую цифру на её степень двойки и сложите — должно получиться исходное число:
Последняя цифра двоичной записи показывает чётность: 1111111 оканчивается на 1, значит, 127 — нечётное число.— Правило
127 в восьмеричной и шестнадцатеричной системе
Чтобы получить восьмеричную запись, разбейте двоичную на группы по три бита справа, дополнив слева нулями: 001 111 111. Каждая группа — одна восьмеричная цифра: 1 7 7, то есть 127₁₀ = 177₈.
Для шестнадцатеричной берут группы по четыре бита: 0111 1111 → 7 F. Цифры больше 9 обозначают буквами A–F (A = 10 … F = 15), поэтому 127₁₀ = 7F₁₆, в программах — 0x7F.
Сколько бит и байт занимает 127
Для записи 127 нужно 7 бит: 2⁶ = 64 ≤ 127 < 128 = 2⁷. В записи 7 единиц и ни одного нуля. В компьютере числа хранят байтами по 8 бит, и 127 помещается в один байт — с ведущими нулями это 0111 1111.
Как записать −127 в дополнительном коде
Отрицательные целые числа компьютер хранит в дополнительном коде: берут двоичную запись модуля нужной длины, меняют все биты на противоположные и прибавляют единицу. Старший бит у отрицательного числа всегда равен 1.
В 8 битах со знаком помещаются числа от −128 до 127, поэтому −127 можно записать и в одном байте. Проверка: 65409 + 127 = 65536 = 2¹⁶ — сумма числа и его дополнительного кода даёт 2 в степени разрядности, то есть ноль с переносом за пределы разрядной сетки.
Соседние числа в двоичной системе
Любое другое число, а также перевод из двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной системы обратно — в конвертере систем счисления: там же побитовые операции AND, OR, XOR и NOT.
- Информатика. 8 класс — системы счисления, перевод целых чисел, представление чисел в компьютере. Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. Школьный учебник.
- Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы — позиционные системы счисления. Д. Кнут. Москва, Вильямс.
