Основное свойство пропорции
Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, b и c — средними. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, a · d = b · c. Верно и обратное: если a · d = b · c и все числа не равны нулю, то a : b = c : d — пропорция.
Если записать пропорцию дробями a/b = c/d, свойство превращается в правило «крест-накрест»: перемножают числа по диагоналям, и произведения равны. Отсюда неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний, а неизвестный средний — произведению крайних, делённому на известный средний.
Как решать по шагам
- Определите, какой член пропорции неизвестен — крайний (первый или четвёртый) или средний (второй или третий).
- Запишите основное свойство: произведение крайних равно произведению средних.
- Если неизвестен крайний член, разделите произведение средних на известный крайний.
- Если неизвестен средний член, разделите произведение крайних на известный средний.
- Проверьте: отношения a : b и c : d должны быть равны.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.— Основное свойство пропорции
Примеры с решением
Пример 1. 3 : 4 = 5 : x
- Пропорция 3 : 4 = 5 : x — то же, что 3/4 = 5/x. Неизвестный член x — крайний.
- Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних — 3 · x = 4 · 5.
- Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний: 4 · 5 / 3 = 20/3 = 6 2/3 = 6,(6) ≈ 6,67.
Проверка: 3 : 4 = 0,75 и 5 : 20/3 = 0,75 — отношения равны.
Пример 2. x : 12 = 5 : 3
- Пропорция x : 12 = 5 : 3 — то же, что x/12 = 5/3. Неизвестный член x — крайний.
- Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних — x · 3 = 12 · 5.
- Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний: 12 · 5 / 3 = 20.
Проверка: 20 : 12 = 5/3 и 5 : 3 = 5/3 — отношения равны.
Пример 3. 2,5 : x = 1/2 : 4
- Пропорция 2,5 : x = (1/2) : 4 — то же, что 2,5/x = (1/2)/4. Неизвестный член x — средний.
- Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних — 2,5 · 4 = x · (1/2).
- Неизвестный средний член равен произведению крайних, делённому на известный средний: 2,5 · 4 / (1/2) = 20.
Проверка: 2,5 : 20 = 0,125 и (1/2) : 4 = 0,125 — отношения равны.
Пример 4. 1,2 : 0,3 = x : 5
- Пропорция 1,2 : 0,3 = x : 5 — то же, что 1,2/0,3 = x/5. Неизвестный член x — средний.
- Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних — 1,2 · 5 = 0,3 · x.
- Неизвестный средний член равен произведению крайних, делённому на известный средний: 1,2 · 5 / 0,3 = 20.
Проверка: 1,2 : 0,3 = 4 и 20 : 5 = 4 — отношения равны.
Другие свойства пропорции
- Можно менять местами средние члены: из a : b = c : d следует a : c = b : d.
- Можно менять местами крайние члены: d : b = c : a.
- Можно перевернуть оба отношения: b : a = d : c.
- Все члены пропорции не равны нулю — иначе отношение не определено.
Частые ошибки
Перемножили не те числа. Перемножают крайние между собой и средние между собой: в 3 : 4 = 5 : x это 3 · x и 4 · 5, а не 3 · 4.
Делят не на то число. Неизвестный крайний член — это произведение средних, делённое на известный крайний: x = 4 · 5 / 3, а не 3 · 5 / 4.
Нуль в пропорции. Члены пропорции не могут быть нулями: отношение с нулём в знаменателе не имеет смысла.
- Математика. 6 класс — отношения и пропорции, прямая и обратная пропорциональные зависимости, масштаб. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — отношения и пропорции. М. Я. Выгодский. Справочник.
