Обратная пропорциональность
Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Их произведение постоянно: x · y = k. Если 4 рабочих делают работу за 12 дней, то вся работа — это 48 «человеко-дней», и 6 рабочих справятся за 48 : 6 = 8 дней. Формула обратной пропорциональности — y = k/x.
В пропорции для обратной зависимости одно из отношений «переворачивают»: 4 : 6 = x : 12, то есть отношение значений первой величины равно обратному отношению значений второй. Проще всего проверять ответ произведением: 4 · 12 = 6 · 8 = 48.
Как решать по шагам
- Убедитесь, что зависимость обратная: при увеличении одной величины другая уменьшается во столько же раз.
- Запишите данные в два столбца, неизвестное обозначьте x.
- Составьте пропорцию, перевернув одно из отношений: x₁ : x₂ = y₂ : y₁.
- Или сразу через произведение: x₁ · y₁ = x₂ · y₂, откуда y₂ = x₁ · y₁ / x₂.
- Проверьте: произведения значений должны совпасть.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.— Определение
Примеры с решением
Пример 1. 4 рабочих выполняют работу за 12 дней. За сколько дней эту работу выполнят 6 рабочих с той же производительностью?
- Величины обратно пропорциональны: во сколько раз увеличивается одна, во столько же раз уменьшается другая, а их произведение не меняется.
- Произведение постоянно: 4 · 12 = 48.
- Пропорция: 4 : 6 = x : 12, откуда x = 4 · 12 / 6 = 8.
Проверка: 4 · 12 = 48 и 6 · 8 = 48 — произведения равны.
Ответ: 8 дней.
Пример 2. Со скоростью 60 км/ч путь занимает 5 часов. Сколько времени займёт этот путь со скоростью 75 км/ч?
- Величины обратно пропорциональны: во сколько раз увеличивается одна, во столько же раз уменьшается другая, а их произведение не меняется.
- Произведение постоянно: 60 · 5 = 300.
- Пропорция: 60 : 75 = x : 5, откуда x = 60 · 5 / 75 = 4.
Проверка: 60 · 5 = 300 и 75 · 4 = 300 — произведения равны.
Ответ: 4 ч.
Пример 3. Из рулона ткани нарезали 20 кусков по 3 м. Сколько кусков по 4 м можно нарезать из такого же рулона?
- Величины обратно пропорциональны: во сколько раз увеличивается одна, во столько же раз уменьшается другая, а их произведение не меняется.
- Произведение постоянно: 3 · 20 = 60.
- Пропорция: 3 : 4 = x : 20, откуда x = 3 · 20 / 4 = 15.
Проверка: 3 · 20 = 60 и 4 · 15 = 60 — произведения равны.
Ответ: 15 кусков.
Примеры обратно пропорциональных величин
- Скорость и время на одном и том же пути.
- Число рабочих и время выполнения одной и той же работы.
- Цена и количество товара на одну и ту же сумму.
- Длина куска и число кусков из одного рулона.
- Длина и ширина прямоугольника одной площади.
Частые ошибки
Пропорция как для прямой. Записав 4 : 6 = 12 : x, получите 18 дней — больше рабочих, а работают дольше. Для обратной зависимости одно отношение переворачивают.
Не та зависимость. Число рабочих и объём сделанной за день работы — прямая пропорциональность, а число рабочих и срок — обратная.
Дробный ответ. В задачах про рабочих и машины ответ бывает дробным: 30/7 дня. Округляйте с учётом смысла — чаще вверх, чтобы успеть.
- Математика. 6 класс — отношения и пропорции, прямая и обратная пропорциональные зависимости, масштаб. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
