Калькулятор пропорций

Что такое пропорция

Пропорция — это равенство двух отношений: a : b = c : d, или a/b = c/d. Читается так: «a относится к b, как c относится к d». Числа a и d называют крайними членами пропорции, b и c — средними. Пропорциями решают задачи на части и доли, пересчитывают рецепты и цены, переводят масштаб карты в расстояния на местности.

Главное свойство пропорции — произведение крайних членов равно произведению средних: a · d = b · c. На нём построено решение: если один член неизвестен, его находят из этого равенства. Подробный разбор с примерами — на странице основного свойства пропорции.

Как найти неизвестный член пропорции

Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний; неизвестный средний — произведению крайних, делённому на известный средний. Так калькулятор решает пропорцию 3 : 4 = 5 : x:

1. Пропорция 3 : 4 = 5 : x — то же, что 3/4 = 5/x. Неизвестный член x — крайний.
2. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних — 3 · x = 4 · 5.
3. Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний: 4 · 5 / 3 = 20/3 = 6 2/3 = 6,(6) ≈ 6,67.

Проверка: 3 : 4 = 0,75 и 5 : 20/3 = 0,75 — отношения равны.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: a · d = b · c.— Основное свойство пропорции

Прямая пропорциональность

Если одна величина растёт во столько же раз, во сколько растёт другая, — они прямо пропорциональны: цена и количество товара, путь и время при постоянной скорости. Задача: 5 кг яблок стоят 350 ₽, сколько стоят 8 кг?

1. Величины прямо пропорциональны: во сколько раз увеличивается (уменьшается) одна, во столько же раз увеличивается (уменьшается) другая.
2. Первая величина увеличилась в 1,6 раза — значит, и вторая изменится во столько же раз.
3. Пропорция: 5 : 8 = 350 : x, откуда x = 350 · 8 / 5 = 560.

Больше задач — в разборе прямой пропорциональности.

Обратная пропорциональность

Если одна величина растёт во столько раз, во сколько уменьшается другая, — они обратно пропорциональны, и постоянно их произведение: число рабочих и срок работы, скорость и время на одном пути. Задача: 4 рабочих делают работу за 12 дней, за сколько сделают 6?

1. Величины обратно пропорциональны: во сколько раз увеличивается одна, во столько же раз уменьшается другая, а их произведение не меняется.
2. Произведение постоянно: 4 · 12 = 48.
3. Пропорция: 4 : 6 = x : 12, откуда x = 4 · 12 / 6 = 8.

Типичная ошибка — решить такую задачу как прямую и получить, что 6 рабочих работают дольше четырёх. Разбор — на странице обратной пропорциональности.

Как разделить число в отношении

Разделить число в отношении 2 : 3 — значит разбить его на 5 равных частей и отдать 2 части одному, 3 — другому:

1. Всего частей: 2 + 3 = 5.
2. Одна часть: 1000 : 5 = 200.
3. Доля 1: 200 · 2 = 400.
4. Доля 2: 200 · 3 = 600.

Отношение может состоять из трёх и более членов; если одна часть получается дробной, калькулятор считает доли точно. Подробнее — как разделить число в отношении.

Как упростить отношение

Отношение не меняется, если все его члены умножить или разделить на одно и то же число. Чтобы упростить отношение, делят члены на их наибольший общий делитель: у 12 и 18 он равен 6, поэтому 12 : 18 = 2 : 3. Десятичные и дробные члены сначала умножают на одно число, чтобы они стали целыми: 0,5 : 1,25 = 2 : 5.