Прямая пропорциональность
Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Отношение таких величин постоянно: y/x = k. Если 5 кг яблок стоят 350 ₽, то 1 кг стоит 70 ₽, и это число не меняется, сколько бы яблок ни купили. Отсюда формула прямой пропорциональности — y = kx.
Задачи на прямую пропорциональность решают пропорцией: отношение двух значений первой величины равно отношению соответствующих значений второй. 5 : 8 = 350 : x, откуда x = 350 · 8 / 5 = 560 ₽. Можно и через единицу: 350 : 5 = 70 ₽ за кило, 70 · 8 = 560 ₽ — ответ тот же.
Как решать по шагам
- Убедитесь, что зависимость прямая: при увеличении одной величины другая увеличивается во столько же раз.
- Запишите данные в два столбца: значения первой величины и соответствующие значения второй. Неизвестное обозначьте x.
- Составьте пропорцию: отношение значений первой величины равно отношению значений второй, в том же порядке.
- Найдите x по основному свойству пропорции: произведение средних членов делится на известный крайний.
- Проверьте: на единицу первой величины должно приходиться одно и то же.
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.— Определение
Примеры с решением
Пример 1. 5 кг яблок стоят 350 ₽. Сколько стоят 8 кг таких же яблок?
- Величины прямо пропорциональны: во сколько раз увеличивается (уменьшается) одна, во столько же раз увеличивается (уменьшается) другая.
- Первая величина увеличилась в 1,6 раза — значит, и вторая изменится во столько же раз.
- Пропорция: 5 : 8 = 350 : x, откуда x = 350 · 8 / 5 = 560.
Проверка: 350 : 5 = 70 и 560 : 8 = 70 — на единицу первой величины приходится одно и то же.
Ответ: 560 ₽.
Пример 2. Машина за 3 часа проехала 240 км. Сколько она проедет за 5 часов с той же скоростью?
- Величины прямо пропорциональны: во сколько раз увеличивается (уменьшается) одна, во столько же раз увеличивается (уменьшается) другая.
- Первая величина увеличилась в 5/3 раза — значит, и вторая изменится во столько же раз.
- Пропорция: 3 : 5 = 240 : x, откуда x = 240 · 5 / 3 = 400.
Проверка: 240 : 3 = 80 и 400 : 5 = 80 — на единицу первой величины приходится одно и то же.
Ответ: 400 км.
Пример 3. На 4 одинаковых пирога уходит 600 г муки. Сколько муки нужно на 7 пирогов?
- Величины прямо пропорциональны: во сколько раз увеличивается (уменьшается) одна, во столько же раз увеличивается (уменьшается) другая.
- Первая величина увеличилась в 1,75 раза — значит, и вторая изменится во столько же раз.
- Пропорция: 4 : 7 = 600 : x, откуда x = 600 · 7 / 4 = 1050.
Проверка: 600 : 4 = 150 и 1050 : 7 = 150 — на единицу первой величины приходится одно и то же.
Ответ: 1050 г.
Примеры прямо пропорциональных величин
- Цена и количество товара при одной цене за штуку.
- Путь и время при постоянной скорости.
- Масса вещества и его объём (при одной плотности).
- Расход материала и число одинаковых изделий.
- Длина стороны квадрата и его периметр.
Частые ошибки
Прямая вместо обратной. Скорость и время на одном и том же пути — обратная пропорциональность: чем быстрее, тем меньше времени. Сначала решите, какая зависимость, потом составляйте пропорцию.
Перепутан порядок. Отношения записывают в одном порядке: 5 кг : 8 кг = 350 ₽ : x ₽. Если поменять местами только одну пару, ответ получится неверным.
Не всякий рост — пропорциональность. Площадь квадрата растёт вместе со стороной, но при удвоении стороны площадь увеличивается в 4 раза — это не прямая пропорциональность.
- Математика. 6 класс — отношения и пропорции, прямая и обратная пропорциональные зависимости, масштаб. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
