Линейные неравенства
Линейное неравенство с одной переменной имеет вид ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), а до такого вида его приводят раскрытием скобок и переносом слагаемых. Решение — не одно число, а целый промежуток: например, x > 4 — это все числа правее четвёрки. Ответ записывают неравенством или промежутком: x ∈ (4; +∞).
Решают так же, как уравнения, пользуясь свойствами неравенств: к обеим частям можно прибавить одно и то же число, обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняют на противоположный: из −2x > 6 следует x < −3.
Как решать
- Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в каждой части.
- Перенесите слагаемые с x в левую часть, числа — в правую, меняя знаки перенесённых слагаемых.
- Разделите обе части на коэффициент при x; если он отрицательный — смените знак неравенства.
- Запишите ответ промежутком: строгое неравенство — круглая скобка, нестрогое — квадратная; у бесконечности скобка всегда круглая.
Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства нужно изменить на противоположный.— Свойство неравенств
Примеры с решением
2x − 3 > 5
- Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: 2x > 8.
- Разделим обе части на 2 — число положительное, знак неравенства сохраняется: x > 4.
Ответ: x ∈ (4; +∞).
3x + 1 < x + 7
- Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: 2x < 6.
- Разделим обе части на 2 — число положительное, знак неравенства сохраняется: x < 3.
Ответ: x ∈ (−∞; 3).
−2x + 4 ≥ 10
- Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: −2x ≥ 6.
- Разделим обе части на (−2) — число отрицательное, поэтому знак неравенства меняем на противоположный: x ≤ −3.
Ответ: x ∈ (−∞; −3].
2(x − 3) > x / 2 + 1
- Раскроем скобки и упростим обе части: 2x − 6 > 0,5x + 1.
- Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: 1,5x > 7.
- Разделим обе части на 1,5 — число положительное, знак неравенства сохраняется: x > 14/3.
Ответ: x ∈ (14/3; +∞).
Частые ошибки
Не меняют знак при делении на отрицательное. Из −2x > 6 следует x < −3, а не x > −3. Проверка: x = −4 подходит (8 > 6), x = 0 — нет.
Квадратная скобка у бесконечности. Бесконечность — не число, её нельзя включить: пишут (−∞; 3], а не [−∞; 3].
Путают строгое и нестрогое. x > 4 — четвёрка не входит, круглая скобка: (4; +∞). x ≥ 4 — входит, квадратная: [4; +∞).
- Алгебра. 8 класс — числовые неравенства, неравенства с одной переменной и их системы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
