Квадратные неравенства
Квадратным называют неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤) с a ≠ 0. Проще всего решать его графически: график трёхчлена — парабола, и ответ зависит только от двух вещей — где парабола пересекает ось x (это корни) и куда направлены её ветви (это знак a).
Если a > 0 и корней два, трёхчлен положителен левее меньшего корня и правее большего, а между корнями отрицателен. Если корень один (D = 0), парабола касается оси, и трёхчлен не меняет знак. Если корней нет (D < 0), трёхчлен одного знака при всех x — того же, что и a.
Как решать
- Перенесите всё в одну часть, чтобы справа был ноль.
- Найдите дискриминант D = b² − 4ac и корни трёхчлена.
- Определите направление ветвей: вверх при a > 0, вниз при a < 0.
- Выберите промежутки, где парабола выше оси (для > 0) или ниже (для < 0); при ≥ и ≤ корни включаются.
Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства нужно изменить на противоположный.— Свойство неравенств
Примеры с решением
x² − 5x + 6 > 0
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1.
- D > 0 — два корня: x₁ = 2, x₂ = 3.
- Ветви параболы направлены вверх (a > 0), поэтому трёхчлен положителен левее x₁ и правее x₂, а между корнями отрицателен.
- Нужны x, при которых трёхчлен > 0: левее x₁ и правее x₂; корни не входят в ответ — неравенство строгое.
Ответ: x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
−x² + 4 ≥ 0
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = 0² − 4 · (−1) · 4 = 16.
- D > 0 — два корня: x₁ = −2, x₂ = 2.
- Ветви параболы направлены вниз (a < 0), поэтому трёхчлен положителен между корнями, а левее x₁ и правее x₂ отрицателен.
- Нужны x, при которых трёхчлен ≥ 0: между корнями; корни входят в ответ — неравенство нестрогое.
Ответ: x ∈ [−2; 2].
x² − 2x − 1 ≤ 0
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = (−2)² − 4 · 1 · (−1) = 8.
- D > 0 — два корня: x₁ = 1 − √2, x₂ = 1 + √2.
- Ветви параболы направлены вверх (a > 0), поэтому трёхчлен положителен левее x₁ и правее x₂, а между корнями отрицателен.
- Нужны x, при которых трёхчлен ≤ 0: между корнями; корни входят в ответ — неравенство нестрогое.
Ответ: x ∈ [1 − √2; 1 + √2].
x² + 1 > 0
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = 0² − 4 · 1 · 1 = −4.
- D < 0 — корней нет: парабола целиком выше оси x, трёхчлен положителен при любом x.
- Нужны x, при которых трёхчлен > 0: подходит любой x.
Ответ: x ∈ (−∞; +∞).
x² − 4x + 4 ≤ 0
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 0.
- D = 0 — один корень: x₀ = −b / (2a) = 2. Парабола касается оси: трёхчлен положителен при всех x, кроме x₀, где он равен нулю.
- Нужны x, при которых трёхчлен ≤ 0: подходит только x₀, где трёхчлен равен нулю.
Ответ: x ∈ {2}.
Частые ошибки
«Между корнями» не глядя. Для x² − 5x + 6 > 0 ответ — вне корней: x < 2 или x > 3. «Между корнями» — когда трёхчлен отрицателен при a > 0.
Забывают про знак a. У −x² + 4 ≥ 0 ветви направлены вниз, и трёхчлен положителен между корнями: [−2; 2].
D < 0 — «решений нет». Не всегда: x² + 1 > 0 верно при любом x, а x² + 1 < 0 не имеет решений.
- Алгебра. 9 класс — неравенства второй степени с одной переменной, метод интервалов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
