Метод интервалов
Метод интервалов основан на простом факте: произведение множителей вида (x − a) может сменить знак только там, где один из множителей обращается в ноль. Поэтому достаточно отметить на числовой прямой все такие точки: между ними знак постоянен, и его проверяют подстановкой одного числа.
Для дробей к точкам добавляют нули знаменателя — в них выражение не определено, поэтому они всегда выколоты, даже в нестрогом неравенстве. Особое внимание — кратным корням: множитель (x − 1)² не меняет знак при переходе через 1, и привычное чередование «+ − + −» в этой точке нарушается.
Как решать
- Перенесите всё в левую часть, чтобы справа был ноль; дроби приведите к общему знаменателю.
- Разложите числитель и знаменатель на множители и найдите их нули.
- Отметьте нули на прямой: нули знаменателя — выколотые, нули числителя — закрашенные при ≥ или ≤.
- Определите знак на каждом промежутке подстановкой числа из него.
- Выберите промежутки с нужным знаком и запишите ответ.
Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства нужно изменить на противоположный.— Свойство неравенств
Примеры с решением
(x − 1)(x + 2)(x − 5) ≥ 0
- Перенесём всё в левую часть и разложим на множители: (x + 2)(x − 1)(x − 5) ≥ 0.
- Отметим на числовой прямой нули числителя: −2; 1; 5.
- Определим знак на каждом промежутке, подставив любое число из него: (−∞; −2): «−», (−2; 1): «+», (1; 5): «−», (5; +∞): «+».
- Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем нули числителя (нули знаменателя остаются выколотыми).
Ответ: x ∈ [−2; 1] ∪ [5; +∞).
(x + 3) / (x − 2) < 0
- Перенесём всё в левую часть, приведём к общему знаменателю и разложим на множители: (x + 3) / (x − 2) < 0.
- Отметим на числовой прямой нули числителя: −3; нули знаменателя: 2 — эти точки выколоты, в них выражение не определено.
- Определим знак на каждом промежутке, подставив любое число из него: (−∞; −3): «+», (−3; 2): «−», (2; +∞): «+».
- Выбираем промежутки со знаком «−», концы не включаем.
Ответ: x ∈ (−3; 2).
(x − 1)²(x + 2) ≤ 0
- Перенесём всё в левую часть и разложим на множители: (x + 2)(x − 1)² ≤ 0.
- Отметим на числовой прямой нули числителя: −2; 1.
- Определим знак на каждом промежутке, подставив любое число из него: (−∞; −2): «−», (−2; 1): «+», (1; +∞): «+».
- Выбираем промежутки со знаком «−» и добавляем нули числителя (нули знаменателя остаются выколотыми).
Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ {1}.
x³ − x > 0
- Перенесём всё в левую часть и разложим на множители: (x + 1)x(x − 1) > 0.
- Отметим на числовой прямой нули числителя: −1; 0; 1.
- Определим знак на каждом промежутке, подставив любое число из него: (−∞; −1): «−», (−1; 0): «+», (0; 1): «−», (1; +∞): «+».
- Выбираем промежутки со знаком «+», концы не включаем.
Ответ: x ∈ (−1; 0) ∪ (1; +∞).
(2x − 1) / (x² + 1) ≥ 0
- Перенесём всё в левую часть, приведём к общему знаменателю и разложим на множители: (2x − 1) / (x² + 1) ≥ 0.
- Отметим на числовой прямой нули числителя: 0,5; знаменатель в ноль не обращается.
- Определим знак на каждом промежутке, подставив любое число из него: (−∞; 0,5): «−», (0,5; +∞): «+».
- Выбираем промежутки со знаком «+» и добавляем нули числителя (нули знаменателя остаются выколотыми).
Ответ: x ∈ [0,5; +∞).
Частые ошибки
Включают нули знаменателя. В (x + 3)/(x − 2) ≤ 0 точка x = 2 выколота всегда: делить на ноль нельзя.
Чередуют знаки вслепую. В (x − 1)²(x + 2) ≤ 0 при переходе через 1 знак не меняется — множитель в квадрате. Надёжнее проверять каждый промежуток подстановкой.
Умножают на знаменатель. Нельзя умножать неравенство на выражение с x: его знак неизвестен. Переносят всё в одну часть и приводят к общему знаменателю.
- Алгебра. 9 класс — неравенства второй степени с одной переменной, метод интервалов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
