Какие бывают неравенства
Неравенство с переменной — это два выражения, соединённые знаком >, <, ≥ или ≤. Решить его — найти все значения x, при которых оно верно. Обычно таких значений бесконечно много, поэтому ответ записывают промежутками. Способ решения зависит от вида неравенства, и решатель выше определяет его сам.
- Линейные — вида ax + b > 0: переносят слагаемые и делят на коэффициент, меняя знак при делении на отрицательное число.
- Квадратные — вида ax² + bx + c > 0: находят корни трёхчлена и смотрят на направление ветвей параболы.
- Дробные и с произведениями — решают методом интервалов: нули множителей делят прямую на промежутки с постоянным знаком.
- Системы и двойные неравенства — решают каждое неравенство и берут общую часть решений.
Как записать ответ
Ответ записывают промежутками. Круглая скобка означает, что граница не входит в ответ, квадратная — что входит; бесконечность всегда берут в круглую скобку. На числовой прямой входящую границу рисуют закрашенным кружком, невходящую — пустым, «выколотым».
Если решений несколько кусков, их объединяют знаком ∪: (−∞; 2) ∪ (3; +∞). Отдельную точку записывают в фигурных скобках — {1}. Если неравенство верно при любом x, ответ (−∞; +∞), а если ни при каком — «решений нет».
Свойства неравенств
- К обеим частям можно прибавить или вычесть одно и то же число — знак не меняется. Отсюда правило переноса слагаемых с противоположным знаком.
- Обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак не меняется.
- При умножении или делении на отрицательное число знак меняют на противоположный: 2 < 3, но −2 > −3.
- Умножать неравенство на выражение с x нельзя: его знак неизвестен. Дроби с x в знаменателе переносят в одну часть и решают методом интервалов.
Умножили или разделили на отрицательное число — поменяйте знак неравенства.— Главное правило
Примеры с решением
2x − 3 > 5
- Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: 2x > 8.
- Разделим обе части на 2 — число положительное, знак неравенства сохраняется: x > 4.
Ответ: x ∈ (4; +∞).
x² − 5x + 6 ≤ 0
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1.
- D > 0 — два корня: x₁ = 2, x₂ = 3.
- Ветви параболы направлены вверх (a > 0), поэтому трёхчлен положителен левее x₁ и правее x₂, а между корнями отрицателен.
- Нужны x, при которых трёхчлен ≤ 0: между корнями; корни входят в ответ — неравенство нестрогое.
Ответ: x ∈ [2; 3].
(x + 3) / (x − 2) < 0
- Перенесём всё в левую часть, приведём к общему знаменателю и разложим на множители: (x + 3) / (x − 2) < 0.
- Отметим на числовой прямой нули числителя: −3; нули знаменателя: 2 — эти точки выколоты, в них выражение не определено.
- Определим знак на каждом промежутке, подставив любое число из него: (−∞; −3): «+», (−3; 2): «−», (2; +∞): «+».
- Выбираем промежутки со знаком «−», концы не включаем.
Ответ: x ∈ (−3; 2).
x > 1; x² < 9
1) x > 1
- Неравенство уже решено относительно x: x > 1.
Решение: (1; +∞).
2) x² < 9
- Перенесём всё в левую часть и приведём подобные: x² − 9 < 0.
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = 0² − 4 · 1 · (−9) = 36.
- D > 0 — два корня: x₁ = −3, x₂ = 3.
- Ветви параболы направлены вверх (a > 0), поэтому трёхчлен положителен левее x₁ и правее x₂, а между корнями отрицателен.
- Нужны x, при которых трёхчлен < 0: между корнями; корни не входят в ответ — неравенство строгое.
Решение: (−3; 3).
Общая часть решений: x ∈ (1; 3).
Ответ: x ∈ (1; 3).
- Алгебра. 8 класс — числовые неравенства, неравенства с одной переменной и их системы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — неравенства второй степени с одной переменной, метод интервалов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
