Системы неравенств
Систему неравенств записывают с фигурной скобкой: все её неравенства должны выполняться одновременно. Поэтому каждое неравенство решают отдельно, отмечают решения на одной числовой прямой и берут их пересечение — общую часть. Если общей части нет, система решений не имеет.
Двойное неравенство вида −3 < 2x + 1 ≤ 5 — это короткая запись системы из двух неравенств. Если посередине стоит линейное выражение, его удобно решать сразу: вычесть одно число из всех трёх частей и разделить все части на коэффициент при x, не забыв сменить знаки при делении на отрицательное число.
Как решать
- Решите каждое неравенство системы.
- Отметьте решения на одной числовой прямой.
- Возьмите общую часть — пересечение промежутков.
- Если общей части нет, запишите «решений нет».
Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства нужно изменить на противоположный.— Свойство неравенств
Примеры с решением
x > 1; x² < 9
1) x > 1
- Неравенство уже решено относительно x: x > 1.
Решение: (1; +∞).
2) x² < 9
- Перенесём всё в левую часть и приведём подобные: x² − 9 < 0.
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = 0² − 4 · 1 · (−9) = 36.
- D > 0 — два корня: x₁ = −3, x₂ = 3.
- Ветви параболы направлены вверх (a > 0), поэтому трёхчлен положителен левее x₁ и правее x₂, а между корнями отрицателен.
- Нужны x, при которых трёхчлен < 0: между корнями; корни не входят в ответ — неравенство строгое.
Решение: (−3; 3).
Общая часть решений: x ∈ (1; 3).
Ответ: x ∈ (1; 3).
−3 < 2x + 1 ≤ 5
- Вычтем 1 во всех трёх частях: −4 < 2x ≤ 4.
- Разделим все части на 2 — число положительное, знаки сохраняются: −2 < x ≤ 2.
- Ответ: (−2; 2].
Ответ: x ∈ (−2; 2].
2x − 1 ≥ 3; x² − 16 < 0
1) 2x − 1 ≥ 3
- Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: 2x ≥ 4.
- Разделим обе части на 2 — число положительное, знак неравенства сохраняется: x ≥ 2.
Решение: [2; +∞).
2) x² − 16 < 0
- Найдём корни квадратного трёхчлена: D = b² − 4ac = 0² − 4 · 1 · (−16) = 64.
- D > 0 — два корня: x₁ = −4, x₂ = 4.
- Ветви параболы направлены вверх (a > 0), поэтому трёхчлен положителен левее x₁ и правее x₂, а между корнями отрицателен.
- Нужны x, при которых трёхчлен < 0: между корнями; корни не входят в ответ — неравенство строгое.
Решение: (−4; 4).
Общая часть решений: x ∈ [2; 4).
Ответ: x ∈ [2; 4).
x > 5; x < 1
1) x > 5
- Неравенство уже решено относительно x: x > 5.
Решение: (5; +∞).
2) x < 1
- Неравенство уже решено относительно x: x < 1.
Решение: (−∞; 1).
Общая часть решений: решений нет.
Ответ: решений нет.
Частые ошибки
Объединяют вместо пересечения. Система — это «и», а не «или»: нужна общая часть промежутков, а не их сумма.
Теряют концы. Конец общей части берут из того неравенства, которое его задаёт: x > 1 и x ≤ 3 дают (1; 3].
Разные знаки в двойном неравенстве. Запись 1 < x > 5 не имеет смысла: в двойном неравенстве оба знака смотрят в одну сторону.
- Алгебра. 8 класс — числовые неравенства, неравенства с одной переменной и их системы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — неравенства второй степени с одной переменной, метод интервалов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
