Формулы сокращённого умножения

Все формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — это готовые результаты умножения многочленов, которые встречаются особенно часто: квадрат и куб суммы и разности, произведение суммы на разность, сумма и разность кубов. Их изучают в курсе алгебры 7 класса и потом используют постоянно: в уравнениях, неравенствах, при сокращении дробей и в вычислениях. Каждую формулу можно читать слева направо — чтобы раскрыть скобки, и справа налево — чтобы разложить многочлен на множители.

Как пользоваться калькулятором

В режиме «Раскрыть скобки» введите выражение: (2x − 3y)², (x + 5)(x − 5), (a + 2)³, (x − 2)(x² + 2x + 4). Калькулятор узнает формулу, назовёт, чему равны a и b, посчитает каждое слагаемое и сложит результат. Можно вводить и целые выражения из задачника вроде (a + 3)² − (a − 3)² или 3(x + 1)² — каждая скобка раскрывается отдельно, затем приводятся подобные слагаемые. Если формулы нет, скобки раскрываются по общему правилу умножения многочленов.

В режиме «Разложить на множители» введите многочлен: x² − 49, 4a² − 12ab + 9b², x³ + 8. Калькулятор вынесет общий множитель, применит подходящую формулу и продолжит разложение, пока это возможно: x⁶ − 64 превратится в четыре множителя. Каждый ответ он проверяет обратным перемножением. Режим «Счёт в уме» показывает, как формулы помогают считать без калькулятора: 99², 51 · 49, 21³, 47² − 43².

Откуда берутся формулы

Все формулы получаются обычным раскрытием скобок: каждый член одной скобки умножают на каждый член другой и приводят подобные. Например, (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² — два одинаковых произведения дают удвоенное 2ab. В произведении (a − b)(a + b) средние слагаемые противоположны и исчезают — остаётся a² − b². Для кубов то же самое делают ещё раз: (a + b)³ = (a + b)²(a + b).

Коэффициенты в степенях суммы — 1, 2, 1 для квадрата и 1, 3, 3, 1 для куба — это строки треугольника Паскаля. По той же закономерности раскрывается и (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ — частный случай формулы бинома Ньютона. Квадрат суммы ещё в Древней Греции доказывали геометрически: площадь квадрата со стороной a + b складывается из a², b² и двух прямоугольников ab — рисунок выше.

Как разложить многочлен на множители

1. Вынесите общий множитель — числовой и буквенный, если он есть.
2. Посчитайте члены в скобке. Два члена — проверьте разность квадратов, сумму и разность кубов. Три — полный квадрат. Четыре — полный куб.
3. Проверьте новые множители: разность квадратов может снова оказаться разностью квадратов или кубов.
4. Перемножьте ответ обратно — должен получиться исходный многочлен.

Так калькулятор раскладывает 2x³ − 50x:

1. Выносим общий множитель 2x: 2x³ − 50x = 2x(x² − 25).
2. x² − 25 = x² − 5² — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = x, b = 5. Получаем (x − 5)(x + 5).

Ответ: 2x³ − 50x = 2x(x − 5)(x + 5).

Разлагая многочлен на множители, сначала выносят общий множитель за скобки, а уже потом применяют формулы сокращённого умножения.— Правило

Счёт в уме по формулам

Числа, близкие к круглым, удобно возводить в квадрат и куб по формулам, а произведение чисел, равноудалённых от круглого, — считать как разность квадратов:

Квадраты чисел до 100 собраны в таблице квадратов, кубы — в таблице кубов.

Как запомнить формулы

• Квадраты. Квадрат суммы и квадрат разности отличаются только знаком у 2ab; квадраты a² и b² всегда с плюсом.
• Разность квадратов. «Разность на сумму» — и никаких средних слагаемых: они сокращаются.
• Кубы суммы и разности. Коэффициенты 1, 3, 3, 1; у разности знаки чередуются.
• Сумма и разность кубов. Во второй скобке — неполный квадрат: ab без двойки и со знаком, противоположным знаку в первой скобке.
• Проверка. Подставьте a = 2, b = 1 в обе части: у верной формулы значения совпадут.