Округление до значащих цифр: правило
Значащие цифры числа — все цифры, начиная с первой ненулевой слева. Нули в начале (0,004567) не значащие: они только показывают положение запятой. Нули в середине (1,05) — значащие. Нули в конце десятичной дроби (2,50) тоже значащие: они говорят, что число известно с точностью до сотых.
Округлить до n значащих цифр — значит оставить n цифр, считая от первой ненулевой, и округлить по обычному правилу. У 1234,5 первая значащая цифра стоит в разряде тысяч, поэтому две значащие цифры — это тысячи и сотни: 1234,5 ≈ 1200. У 0,004567 первая значащая цифра — в тысячных: 0,004567 ≈ 0,0046.
Как округлять по шагам
- Найдите первую ненулевую цифру слева — это первая значащая цифра.
- Отсчитайте от неё нужное количество цифр вправо; последняя из них — разряд, до которого округляем.
- Посмотрите на следующую цифру: 5 и больше — увеличьте последнюю оставляемую цифру на 1, меньше 5 — оставьте.
- В целой части отброшенные цифры замените нулями, в дробной — отбросьте.
- Нули в конце результата, если они значащие, сохраните: 9,996 до трёх значащих — 10,0.
Точность результата вычислений не выше точности самого грубого из исходных данных.— Правило приближённых вычислений
Примеры с решением
Пример 1: 1234,5 до 2 значащих цифр ≈ 1200
- Первая значащая цифра стоит в разряде тысяч; 2 значащие цифры — это округление до разряда сотен.
- Находим разряд сотен — 3-я цифра с конца целой части.
- Цифра справа от него — 3: 3 < 5, поэтому цифру разряда сотен оставляем как есть.
- Все цифры правее разряда сотен заменяем нулями: 1234,5 ≈ 1200.
Пример 2: 0,004567 до 2 значащих цифр ≈ 0,0046
- Первая значащая цифра стоит в разряде тысячных; 2 значащие цифры — это округление до разряда десятитысячных.
- Находим разряд десятитысячных — 4-я цифра после запятой.
- Цифра справа от него — 6 (и за ней есть ненулевые цифры): 6 ≥ 5, поэтому цифру разряда десятитысячных увеличиваем на 1.
- Цифры правее разряда десятитысячных отбрасываем: 0,004567 ≈ 0,0046.
Пример 3: 9,996 до 3 значащих цифр ≈ 10,0
- Первая значащая цифра стоит в разряде единиц; 3 значащие цифры — это округление до разряда сотых.
- Находим разряд сотых — 2-я цифра после запятой.
- Цифра справа от него — 6: 6 ≥ 5, поэтому цифру разряда сотых увеличиваем на 1.
- В разряде сотых стоит 9: 9 + 1 = 10, поэтому единица переходит в соседний старший разряд — как при сложении столбиком.
- Цифры правее разряда сотых отбрасываем, а нули в конце оставляем — они показывают точность: 9,996 ≈ 10,00.
- После округления у числа появился новый старший разряд: 10,00 — это уже 4 значащие цифры. Чтобы их осталось 3, последний нуль отбрасываем: 10,0.
Пример 4: 299 792 458 до 3 значащих цифр ≈ 300 000 000
- Первая значащая цифра стоит в разряде сотен миллионов; 3 значащие цифры — это округление до разряда миллионов.
- Находим разряд миллионов — 7-я цифра с конца целой части.
- Цифра справа от него — 7 (и за ней есть ненулевые цифры): 7 ≥ 5, поэтому цифру разряда миллионов увеличиваем на 1.
- В разряде миллионов стоит 9: 9 + 1 = 10, поэтому единица переходит в соседний старший разряд — как при сложении столбиком.
- Все цифры правее разряда миллионов заменяем нулями: 299 792 458 ≈ 300 000 000.
Таблица: округление до значащих цифр
Значащими цифрами пользуются в физике и химии, в инженерных расчётах и статистике — везде, где число получено измерением и важна относительная точность, а не конкретный разряд.
Частые ошибки
Считают нули в начале. У 0,004567 первая значащая цифра — 4. Две значащие цифры — 0,0046, а не 0,00.
Отбросили нули в конце. 9,996 до трёх значащих — 10,0, а не 10: нуль после запятой — третья значащая цифра.
Путают со знаками после запятой. Три значащие цифры у 1234,5 — это 1230, а три знака после запятой — 1234,500. Это разные округления.
- Справочник по элементарной математике — приближённые вычисления, значащие цифры. М. Я. Выгодский. Справочник.
