Что такое степень числа
Степень числа a с натуральным показателем n — произведение n одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a. Число a называют основанием, n — показателем степени. Например, 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, а 1,5² = 1,5 × 1,5 = 2,25. Квадрат числа — вторая степень, куб — третья.
Определение расширяют на другие показатели так, чтобы сохранялись правила действий. Нулевая степень любого числа, кроме нуля, равна единице. Отрицательная степень — это дробь: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Дробная степень — корень: a^(1/n) = ⁿ√a. Калькулятор выше понимает все эти случаи: показатель можно ввести целым числом, десятичной дробью (0,5) или обыкновенной (1/3).
Таблица степеней от 2 до 10
Строка — основание, столбец — показатель. Степени двойки и десятки со ссылкой разобраны на отдельных страницах.
Самые нужные строки — квадраты и кубы: их полные таблицы — на странице «Таблица квадратов», где есть и кубы чисел до 100.
Свойства степеней
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128;
- aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ: 3⁵ : 3² = 3³ = 27;
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: (2³)² = 2⁶ = 64;
- (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ: (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1000;
- (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ: (2/3)² = 4/9;
- a⁰ = 1 при a ≠ 0, a¹ = a.
Из свойств следует удобный способ возводить в большие степени — через квадраты. Показатель раскладывают на степени двойки: 13 = 8 + 4 + 1, поэтому 3¹³ = 3⁸ · 3⁴ · 3 = 6561 · 81 · 3 = 1 594 323. Вместо 12 умножений нужно пять — поэтому так возводят в степень и программы.
Показатели складываются только при одинаковых основаниях: 2³ · 3² — это 8 · 9 = 72, а не «6⁵».— Правило
Отрицательная и дробная степень
Отрицательный показатель переворачивает число: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8 = 0,125. Калькулятор показывает такой результат и обыкновенной, и десятичной дробью; если десятичная дробь бесконечная (3⁻² = 1/9 = 0,111…), он выводит 12 значащих цифр и помечает ответ как приближённый.
Дробный показатель — это корень: a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a, а a^(p/q) — корень степени q из aᵖ. Например, 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4. У отрицательного основания дробная степень существует, только если знаменатель показателя нечётный: (−8)^(1/3) = −2, а (−4)^(1/2) среди действительных чисел не определено.
Степени двойки
Степени двойки — основа информатики: n бит дают 2ⁿ разных значений, а объём памяти измеряют в 2¹⁰ = 1024 байта (кибибайт), 2²⁰ (мебибайт), 2³⁰ (гибибайт).
Степени десяти, названия и приставки
10ⁿ — единица и n нулей, 10⁻ⁿ — единица на n-м месте после запятой. Для удобства у круглых степеней есть названия и приставки единиц измерения.
- Алгебра. 7 класс — степень с натуральным показателем и её свойства. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Алгебра. 8 класс — степень с целым показателем, стандартный вид числа. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — степень с рациональным показателем. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Международная система единиц (SI Brochure) — десятичные приставки. Международное бюро мер и весов. bipm.org.
