Задачи про трубы и бассейн
Задачи про трубы и бассейн — разновидность задач на совместную работу. Работа — наполнить бассейн, его объём принимают за 1. Труба, которая наполняет бассейн за 6 часов, за 1 час наполняет 1/6 бассейна. Если открыть две наполняющие трубы, их части складывают — как производительности двух рабочих.
Особенность этих задач — сливная труба. Она не помогает, а мешает: через неё за единицу времени вытекает часть воды. Если полный бассейн опустошается через слив за 10 часов, за час вытекает 1/10 бассейна. Когда открыты и наполняющая, и сливная трубы, за час бассейн наполняется на 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15 — значит, пустой бассейн наполнится за 15 часов.
Если слив работает не медленнее, чем труба наполняет, бассейн не наполнится никогда: разность частей будет нулём или отрицательным числом. Решатель предупреждает об этом, а в режиме «Задачи для печати» составляет задачи обоих видов — с двумя наполняющими трубами и со сливом — с целыми ответами.
Формулы
- Весь бассейн принимают за 1.
- Труба, наполняющая бассейн за t₁, за единицу времени даёт 1/t₁ бассейна; слив, опустошающий его за t₂, забирает 1/t₂.
- Две наполняющие трубы: t = 1 : (1/t₁ + 1/t₂).
- Наполняющая и сливная трубы: t = 1 : (1/t₁ − 1/t₂); бассейн наполнится, только если слив медленнее, то есть t₂ > t₁.
Наполняющая труба прибавляет свою часть бассейна за единицу времени, сливная — отнимает.— Правило
Задачи с решением
Каждая задача решена «по действиям», как в тетради: у каждого действия — пояснение, что найдено. Схема под решением показывает, какую часть работы делает каждый за единицу времени.
Задача 1
Одна труба наполняет бассейн за 6 часов, а через другую полный бассейн опустошается за 10 часов. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 6 = 1/6 — часть бассейна, которую первая труба наполняет за 1 ч.
- 2) 1 : 10 = 1/10 — часть бассейна, которая вытекает через слив за 1 ч.
- 3) 1/6 − 1/10 = 1/15 — на такую часть бассейн наполняется за 1 ч, когда открыты обе трубы.
- 4) 1 : 1/15 = 15 (ч) — время наполнения всего бассейна.
Ответ: 15 ч.
Задача 2
Через первую трубу бак наполняется за 12 минут, через вторую — за 6 минут. За сколько минут наполнится пустой бак, если открыть обе трубы?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 12 = 1/12 — часть бассейна, которую первая труба наполняет за 1 мин.
- 2) 1 : 6 = 1/6 — часть бассейна от второй трубы за 1 мин.
- 3) 1/12 + 1/6 = 1/4 — часть бассейна, которую обе трубы наполняют за 1 мин.
- 4) 1 : 1/4 = 4 (мин) — время наполнения двумя трубами.
Ответ: 4 мин.
Задача 3
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть обе трубы?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 4 = 1/4 — часть бассейна, которую первая труба наполняет за 1 ч.
- 2) 1 : 6 = 1/6 — часть бассейна от второй трубы за 1 ч.
- 3) 1/4 + 1/6 = 5/12 — часть бассейна, которую обе трубы наполняют за 1 ч.
- 4) 1 : 5/12 = 12/5 (ч) — время наполнения двумя трубами.
Ответ: 12/5 ч = 2 ч 24 мин.
Задача 4
Кран наполняет ванну за 8 минут, а через открытый слив полная ванна опустошается за 12 минут. За сколько минут наполнится ванна, если забыть закрыть слив?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 8 = 1/8 — часть бассейна, которую первая труба наполняет за 1 мин.
- 2) 1 : 12 = 1/12 — часть бассейна, которая вытекает через слив за 1 мин.
- 3) 1/8 − 1/12 = 1/24 — на такую часть бассейн наполняется за 1 мин, когда открыты обе трубы.
- 4) 1 : 1/24 = 24 (мин) — время наполнения всего бассейна.
Ответ: 24 мин.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Через первую трубу бак наполняется за 18 минут, через вторую — за 36 минут. За сколько минут наполнится пустой бак, если открыть обе трубы?
- Одна труба наполняет бассейн за 18 часов, а через другую полный бассейн опустошается за 54 часа. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы?
- Через первую трубу бак наполняется за 60 минут, через вторую — за 20 минут. За сколько минут наполнится пустой бак, если открыть обе трубы?
- Одна труба наполняет бассейн за 16 часов, а через другую полный бассейн опустошается за 32 часа. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы?
- Одна труба наполняет бассейн за 12 часов, а через другую полный бассейн опустошается за 60 часов. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы?
- Через первую трубу бак наполняется за 15 минут, через вторую — за 10 минут. За сколько минут наполнится пустой бак, если открыть обе трубы?
- Через первую трубу бак наполняется за 60 минут, через вторую — за 12 минут. За сколько минут наполнится пустой бак, если открыть обе трубы?
- Одна труба наполняет бассейн за 6 часов, а через другую полный бассейн опустошается за 24 часа. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы?
Ответы
- 12 мин
- 27 ч
- 15 мин
- 32 ч
- 15 ч
- 6 мин
- 10 мин
- 8 ч
Частые ошибки
Вычитают времена. 10 ч − 6 ч = 4 ч — неверно. Вычитают не времена, а части бассейна за час: 1/6 − 1/10 = 1/15, ответ 15 ч.
Прибавляют слив. Сливная труба уменьшает количество воды, поэтому её часть вычитают, а не прибавляют.
Не проверяют условие. Если слив быстрее наполнения или так же быстр (t₂ ≤ t₁), бассейн не наполнится — такое условие нужно перечитать.
- Математика. 5 класс — обыкновенные дроби, решение текстовых задач. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — сложение, вычитание и деление обыкновенных дробей с разными знаменателями. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
