Задачи на совместную работу
В задачах на совместную работу обычно известно, за сколько времени каждый выполнит всю работу в одиночку, а сколько в ней деталей, страниц или метров — не сказано. Тогда всю работу принимают за 1. Если первый рабочий выполняет заказ за 12 часов, то за 1 час он делает 1/12 заказа — это его производительность. Второй выполняет тот же заказ за 6 часов, значит, за час делает 1/6 заказа.
Работая вместе, за 1 час они сделают 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4 заказа. Вся работа — это 1, поэтому понадобится 1 : 1/4 = 4 часа. Так решают любую задачу на совместную работу: находят часть работы каждого за единицу времени, складывают эти части и делят всю работу на сумму.
Если известны не времена, а производительности — например, первый насос перекачивает 40 литров в минуту, — работу за 1 не принимают: производительности складывают или вычитают как обычные числа. Решатель умеет оба вида: вкладка «Совместная работа» — по времени каждого, «Вместе по производительности» — по количеству за единицу времени.
Формулы
- Если объём работы не дан, всю работу принимают за 1.
- Производительность — часть работы за единицу времени: 1 : t. Кто справляется за 12 ч, делает 1/12 работы в час.
- Совместная производительность — сумма частей: 1/t₁ + 1/t₂.
- Время совместной работы: t = 1 : (1/t₁ + 1/t₂). Для двоих это то же самое, что t₁ · t₂ : (t₁ + t₂).
- Время второго, если известно время вместе: t₂ = 1 : (1/t − 1/t₁).
Всю работу принимают за 1: за единицу времени каждый выполняет 1/t её часть, а вместе — сумму этих частей.— Правило
Задачи с решением
Каждая задача решена «по действиям», как в тетради: у каждого действия — пояснение, что найдено. Схема под решением показывает, какую часть работы делает каждый за единицу времени.
Задача 1
Первый рабочий может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 6 часов. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 12 = 1/12 — часть работы, которую первый делает за 1 ч.
- 2) 1 : 6 = 1/6 — часть работы второго за 1 ч.
- 3) 1/12 + 1/6 = 1/4 — совместная производительность: часть работы, которую оба делают за 1 ч.
- 4) 1 : 1/4 = 4 (ч) — время совместной работы: всю работу (1) делим на совместную производительность.
Ответ: 4 ч.
Задача 2
Одна бригада может отремонтировать дорогу за 10 дней, другая — за 15 дней. За сколько дней они отремонтируют дорогу, работая вместе?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 10 = 1/10 — часть работы, которую первый делает за 1 дн..
- 2) 1 : 15 = 1/15 — часть работы второго за 1 дн..
- 3) 1/10 + 1/15 = 1/6 — совместная производительность: часть работы, которую оба делают за 1 дн..
- 4) 1 : 1/6 = 6 (дн.) — время совместной работы: всю работу (1) делим на совместную производительность.
Ответ: 6 дн..
Задача 3
Первый маляр может покрасить забор за 3 часа, второй — за 5 часов. За какое время они покрасят забор вместе?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 3 = 1/3 — часть работы, которую первый делает за 1 ч.
- 2) 1 : 5 = 1/5 — часть работы второго за 1 ч.
- 3) 1/3 + 1/5 = 8/15 — совместная производительность: часть работы, которую оба делают за 1 ч.
- 4) 1 : 8/15 = 15/8 (ч) — время совместной работы: всю работу (1) делим на совместную производительность.
Ответ: 15/8 ч = 1 ч 52 мин 30 с.
Задача 4
Первая машинистка может перепечатать рукопись за 20 часов, а вместе со второй — за 12 часов. За сколько часов вторая машинистка перепечатает рукопись одна?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 20 = 1/20 — часть работы, которую первый делает за 1 ч.
- 2) 1 : 12 = 1/12 — совместная производительность: часть работы за 1 ч.
- 3) 1/12 − 1/20 = 1/30 — производительность второго: его часть работы за 1 ч.
- 4) 1 : 1/30 = 30 (ч) — время, за которое второй выполнит всю работу один.
Ответ: 30 ч.
Задача 5
Два насоса вместе перекачали 360 литров воды за 4 минуты. Первый насос перекачивает 40 литров в минуту. Сколько литров в минуту перекачивает второй?
Решение по действиям:
- 1) 360 : 4 = 90 — совместная производительность: столько оба делают за 1 мин.
- 2) 90 − 40 = 50 — производительность второго за 1 мин.
Ответ: 50 литров в минуту.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Первый принтер может напечатать тираж за 10 минут, второй — за 15 минут. За сколько минут они напечатают тираж, работая вместе?
- Первая машинистка может перепечатать рукопись за 18 часов, вторая — за 36 часов. За сколько часов они перепечатают рукопись, работая вместе?
- Первая бригада может отремонтировать дорогу за 40 дней, вторая — за 10 дней. За сколько дней они отремонтируют дорогу, работая вместе?
- Первый маляр может покрасить забор за 20 часов, второй — за 60 часов. За сколько часов они покрасят забор, работая вместе?
- Первая бригада может отремонтировать дорогу за 9 дней, вторая — за 18 дней. За сколько дней они отремонтируют дорогу, работая вместе?
- Первый маляр может покрасить забор за 28 часов, второй — за 21 час. За сколько часов они покрасят забор, работая вместе?
- Первая бригада может отремонтировать дорогу за 54 дня, а вместе со второй — за 18 дней. За сколько дней вторая отремонтирует дорогу одна?
- Первая бригада может отремонтировать дорогу за 15 дней, вторая — за 60 дней. За сколько дней они отремонтируют дорогу, работая вместе?
Ответы
- 6 мин
- 12 ч
- 8 дн.
- 15 ч
- 6 дн.
- 12 ч
- 27 дн.
- 12 дн.
Частые ошибки
Складывают времена. Вместе работа идёт быстрее, а не дольше: 12 ч + 6 ч = 18 ч — неверно. Складывают не времена, а производительности: 1/12 + 1/6 = 1/4.
Берут среднее. Среднее (12 + 6) : 2 = 9 ч — тоже неверно. Правильный ответ 4 ч: вместе всегда быстрее, чем самый быстрый участник в одиночку.
Путают часть и время. 1/4 — это часть работы за 1 час, а не время. Время: 1 : 1/4 = 4 ч.
- Математика. 5 класс — обыкновенные дроби, решение текстовых задач. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — сложение, вычитание и деление обыкновенных дробей с разными знаменателями. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
