Главная формула: A = N · t
Во всех задачах на работу участвуют три величины: объём работы A, производительность N и время t. Производительность — это работа за единицу времени: 12 деталей в час, 9 страниц в час, 25 литров в минуту. Объём работы равен производительности, умноженной на время: рабочий, который изготавливает 12 деталей в час, за 5 часов изготовит 12 · 5 = 60 деталей. Из этой формулы получаются ещё две: производительность — это работа, делённая на время, а время — работа, делённая на производительность.
Формула повторяет формулу пути S = v · t из задач на движение: производительность играет роль скорости, объём работы — роль расстояния. Поэтому и приёмы те же: если работают двое одновременно, их производительности складывают — как скорости при встречном движении. Подробно о трёх величинах — на странице «Работа, производительность, время».
Виды задач на работу
| Вид | Что известно | Производительность | Время |
|---|---|---|---|
| Работа, производительность, время | две величины из трёх | N = A : t | t = A : N |
| Совместная работа по времени | за сколько каждый сделает всю работу | 1/t₁ + 1/t₂ | t = 1 : (1/t₁ + 1/t₂) |
| Совместная работа по производительности | сколько каждый делает за единицу времени | N₁ + N₂ | t = A : (N₁ + N₂) |
| Две трубы наполняют | за сколько наполняет каждая труба | 1/t₁ + 1/t₂ | t = 1 : (1/t₁ + 1/t₂) |
| Труба и слив | время наполнения и время слива | 1/t₁ − 1/t₂ | t = 1 : (1/t₁ − 1/t₂) |
Если объём работы не дан, его принимают за 1: тогда тот, кто выполняет всю работу за t часов, за час делает 1/t её часть.— Правило
Почему всю работу принимают за 1
В классической задаче «первый рабочий выполняет заказ за 12 часов, второй — за 6 часов» не сказано, сколько в заказе деталей. Но ответ от этого не зависит. Пусть в заказе 36 деталей: первый делает 36 : 12 = 3 детали в час, второй 36 : 6 = 6 деталей в час, вместе — 9 деталей в час, и заказ будет готов за 36 : 9 = 4 часа. Возьмём 120 деталей: 10 и 20 деталей в час, вместе 30, время 120 : 30 = 4 часа — снова 4.
Раз объём не влияет на ответ, удобнее всего взять его равным 1. Тогда производительность — это доля работы за час: 1/12 и 1/6, вместе 1/12 + 1/6 = 1/4, а время — 1 : 1/4 = 4 часа. Для такого решения нужно уметь складывать дроби с разными знаменателями — их удобно проверять на калькуляторе дробей. Решатель на этой странице делает все действия с точными дробями и рисует схему: полоса «вся работа» разбита на равные клетки, а цветом показано, сколько клеток каждый заполняет за час.
Как решать задачу на работу
- Прочитайте условие и выпишите, что известно: объём работы, производительности или время каждого на всю работу.
- Если объём не дан, примите всю работу за 1 и найдите производительность каждого: 1 : t.
- Если работают одновременно, сложите производительности; сливная труба — вычитается.
- Найдите искомое по формуле A = N · t или обратным к ней: N = A : t, t = A : N.
- Запишите ответ с единицами времени и проверьте: вместе должно получиться быстрее, чем у самого быстрого участника.
Задачи на работу часто решают и уравнением: например, если время второго неизвестно, его обозначают x и записывают 1/12 + 1/x = 1/4. Уравнения с проверкой решает решатель уравнений.
Примеры с решением
Задача 1
Станок выпускает 15 деталей в час. Сколько времени нужно, чтобы выпустить 50 деталей?
Решение по действиям:
- 1) 50 : 15 = 10/3 (ч) — время: работу делим на производительность.
Ответ: t = 10/3 ч = 3 ч 20 мин.
Задача 2
Первый рабочий может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 6 часов. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 12 = 1/12 — часть работы, которую первый делает за 1 ч.
- 2) 1 : 6 = 1/6 — часть работы второго за 1 ч.
- 3) 1/12 + 1/6 = 1/4 — совместная производительность: часть работы, которую оба делают за 1 ч.
- 4) 1 : 1/4 = 4 (ч) — время совместной работы: всю работу (1) делим на совместную производительность.
Ответ: 4 ч.
Задача 3
Одна труба наполняет бассейн за 6 часов, а через другую полный бассейн опустошается за 10 часов. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы?
Решение по действиям:
- 1) 1 : 6 = 1/6 — часть бассейна, которую первая труба наполняет за 1 ч.
- 2) 1 : 10 = 1/10 — часть бассейна, которая вытекает через слив за 1 ч.
- 3) 1/6 − 1/10 = 1/15 — на такую часть бассейн наполняется за 1 ч, когда открыты обе трубы.
- 4) 1 : 1/15 = 15 (ч) — время наполнения всего бассейна.
Ответ: 15 ч.
- Математика. 4 класс — задачи с величинами, умножение и деление многозначных чисел. М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и другие. Школьный учебник.
- Математика. 5 класс — обыкновенные дроби, решение текстовых задач. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — сложение, вычитание и деление обыкновенных дробей с разными знаменателями. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
