Что такое обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь a/b показывает, что целое разделили на b равных долей и взяли a таких долей. Число над чертой — числитель, под чертой — знаменатель. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной (3/4), а дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, — неправильной (7/4). Неправильную дробь можно записать смешанным числом: 7/4 = 1 3/4 — одна целая и три четверти.
Черта дроби означает деление: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Поэтому любую дробь можно записать десятичной — конечной, как 3/4 = 0,75, или бесконечной периодической, как 1/3 = 0,(3). Калькулятор показывает обе записи ответа; подробно о переводе — на странице «Перевод дроби в десятичную».
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь: 3/4 = 6/8 = 9/12. На этом свойстве держатся два главных приёма. Сокращение — деление числителя и знаменателя на общий делитель: 24/36 = 2/3. Приведение к общему знаменателю — умножение числителя и знаменателя на дополнительный множитель, чтобы у дробей стали одинаковые доли.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.— Основное свойство дроби
Действия с дробями
Правила для каждого действия — в таблице. Сложение, вычитание и сравнение требуют одинаковых знаменателей, умножение и деление — нет. Подробные разборы с примерами, частыми ошибками и листами для тренировки — на отдельных страницах.
| Действие | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Сложение | одинаковые знаменатели — сложить числители; разные — сначала привести к общему знаменателю | 1/4 + 5/6 = 3/12 + 10/12 = 13/12 |
| Вычитание | как сложение; у смешанных чисел при нехватке дробной части занимают единицу | 7/8 − 1/6 = 21/24 − 4/24 = 17/24 |
| Умножение | числитель умножить на числитель, знаменатель — на знаменатель | 2/3 · 4/5 = 8/15 |
| Деление | умножить делимое на дробь, обратную делителю | 3/4 : 9/8 = 3/4 · 8/9 = 2/3 |
| Сокращение | разделить числитель и знаменатель на их НОД | 24/36 = 2/3 |
| Общий знаменатель | найти НОК знаменателей и дополнительные множители | 3/8 = 9/24, 5/12 = 10/24 |
| Сравнение | привести к общему знаменателю и сравнить числители | 3/4 = 21/28 > 20/28 = 5/7 |
Общий знаменатель берут наименьший — это наименьшее общее кратное знаменателей. Для 4 и 6 это 12: оно делится и на 4, и на 6. Произведение знаменателей (24) тоже подошло бы, но числа были бы больше, и ответ пришлось бы сокращать. Найти НОК и НОД отдельно можно в калькуляторе НОД и НОК.
Смешанные числа
Смешанное число — сумма целой части и правильной дроби: 2 1/3 = 2 + 1/3. Чтобы записать его неправильной дробью, целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель: 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3. Обратно — делят числитель на знаменатель с остатком: 7 : 3 = 2 (остаток 1), значит 7/3 = 2 1/3. Такой перевод по шагам показывает калькулятор смешанных чисел.
При сложении и вычитании смешанных чисел удобнее работать с целыми и дробными частями отдельно, а при умножении и делении — переводить их в неправильные дроби. Калькулятор выбирает способ сам и показывает каждый шаг.
Примеры с решением
14 + 56 = 1112
- Приведём дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на простые множители: 4 = 2², 6 = 2 · 3. Наименьший общий знаменатель — НОК(4, 6) = 2² · 3 = 12.
- Дополнительные множители: 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2. Умножим на них числитель и знаменатель каждой дроби.
- 14 + 56 = 1 · 34 · 3 + 5 · 26 · 2 = 312 + 1012 = 3 + 1012 = 1312.
- Выделим целую часть: 1312 = 1112 (13 : 12 = 1, остаток 1).
Ответ: 1112.
213 + 134 = 4112
- Приведём дробные части к общему знаменателю. Знаменатели 3 и 4 взаимно простые, поэтому наименьший общий знаменатель — их произведение: 3 · 4 = 12.
- Дополнительные множители: 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3; 13 = 412, 34 = 912.
- Сложим целые части: 2 + 1 = 3.
- Сложим дробные части: 412 + 912 = 1312.
- Дробная часть 1312 больше единицы или равна ей: 1312 = 1112. Добавим 1 к целой части: 3 + 1 = 4.
- 213 + 134 = 4112.
Ответ: 4112.
34 : 98 = 23
- Чтобы разделить на дробь, умножим делимое на число, обратное делителю: 34 : 98 = 34 · 89.
- Чтобы умножить дробь на дробь, перемножим отдельно числители и знаменатели.
- Сократим до умножения: 3 и 9 — на 3; 8 и 4 — на 4.
- 34 · 89 = 3 · 84 · 9 = 1 · 23 = 23.
Ответ: 23.
- Математика. 5 класс — обыкновенные дроби, сравнение дробей, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, смешанные числа. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — основное свойство дроби, сокращение, приведение к общему знаменателю, действия с обыкновенными дробями. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
