Что такое квадратный корень
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a: √49 = 7, потому что 7² = 49. Его ещё называют арифметическим корнем. У уравнения x² = 49 два решения — 7 и −7, но знак √ обозначает только неотрицательное, поэтому √49 = 7, а решения уравнения записывают как x = ±√49.
Корень определён для a ≥ 0: квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому √−4 среди действительных чисел не существует. Если a — точный квадрат (1, 4, 9, 16, 25…), корень целый. Для всех остальных натуральных чисел корень иррационален: его десятичная запись бесконечна и не повторяется, поэтому в ответах пишут √2 или 3√2, а для вычислений округляют.
Как пользоваться калькулятором
Введите число — целое или дробное, через запятую или точку. В режиме √x калькулятор показывает корень, округлённый до четырёх знаков, и 12 знаков после запятой без округления; для целых чисел — ещё упрощённую запись и разложение на простые множители (до 10¹²). В режиме ⁿ√x задайте степень от 2 до 20: например, ∛27 = 3, ⁵√32 = 2. Режим x² и x³ возводит число в квадрат и куб без потери цифр — 123 456 789² = 15 241 578 750 190 521.
Дробь калькулятор читает как точное десятичное число, а не как приближение с плавающей запятой. Поэтому √12,25 = 3,5 и √0,0081 = 0,09 получаются точными, а у иррациональных корней все 12 знаков после запятой верны: вычисление идёт в целых числах методом Ньютона.
Таблица квадратных корней от 1 до 100
Значения округлены до четырёх знаков после запятой, в третьей колонке — упрощённая запись; прочерк означает, что корень не упрощается. Для точных квадратов (1, 4, 9 … 100) корень целый. Числа со ссылкой разобраны подробно на отдельных страницах.
Квадраты чисел до 100 и таблица квадратов двузначных чисел — на странице «Таблица квадратов»: по ней корень из точного квадрата находят обратным поиском.
Как упростить корень
Упростить корень — значит вынести из-под знака множитель, который является точным квадратом. Работает свойство √(a · b) = √a · √b: подкоренное число раскладывают так, чтобы один множитель был квадратом — 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, — и извлекают из него корень.
- √72 = √(36 · 2) = 6√2, потому что 72 = 2³ · 3²;
- √48 = √(16 · 3) = 4√3;
- √75 = √(25 · 3) = 5√3;
- √98 = √(49 · 2) = 7√2.
Выносить нужно наибольший квадрат: √72 = √(4 · 18) = 2√18 — ещё не конец, потому что √18 = 3√2. Упрощённая запись нужна, чтобы складывать корни: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. Складывать можно только корни с одинаковым подкоренным числом, как подобные слагаемые.
Как извлечь корень столбиком
Старый способ «уголком» даёт корень цифра за цифрой. Число делят на пары цифр справа налево: 13 69. Первая цифра корня — наибольшая, квадрат которой не больше первой пары: 3² = 9 ≤ 13, остаток 4. К остатку приписывают следующую пару — получается 469. Уже найденную часть корня удваивают (3 · 2 = 6) и подбирают цифру d так, чтобы число «6d», умноженное на d, не превышало 469: 67 · 7 = 469. Остаток 0, значит, √1369 = 37 точно.
Если число не точный квадрат, после целой части приписывают пары нулей и получают знаки после запятой. Для √2 три шага после запятой дают 1,414: цифры получаются сразу верными, без округления.
Метод Герона
Быстрее всего корень уточняет метод Герона Александрийского: возьмите приближение x и замените его средним арифметическим x и a/x. Если x меньше корня, то a/x больше, и наоборот, так что среднее ближе к ответу. Для √10 начнём с 3:
Точное значение √10 = 3,162277660168…: после первого шага верны 2 знака после запятой, после второго — 4 знака, после третьего — 11 знаков. Число верных знаков примерно удваивается на каждом шаге — это частный случай метода Ньютона.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный. Если в ответе получилась обыкновенная дробь вроде 7/5, это приближение, а не точное значение.— Правило
Корень n-й степени
Корень n-й степени из a — число, n-я степень которого равна a: ∛27 = 3, потому что 3³ = 27; ⁴√81 = 3; ⁵√32 = 2. Квадратный корень — случай n = 2, показатель 2 у знака корня не пишут. Корень можно записать степенью с дробным показателем: ⁿ√a = a^(1/n), например √2 = 2^0,5.
Для чётных n корень определён только при a ≥ 0 и неотрицателен, как квадратный. Для нечётных n корень существует у любого числа и сохраняет знак: ∛−8 = −2, ⁵√−243 = −3. В калькуляторе выберите режим ⁿ√x и укажите степень — проверка сразу покажет, что ответ, возведённый в n-ю степень, даёт исходное число.
Свойства корней
- √(a · b) = √a · √b при a, b ≥ 0: √(4 · 25) = 2 · 5 = 10;
- √(a / b) = √a / √b при a ≥ 0, b > 0: √(9/16) = 3/4;
- (√a)² = a при a ≥ 0 и √(a²) = |a| при любом a;
- 1/√a = √a / a — так избавляются от корня в знаменателе: 1/√2 = √2/2 ≈ 0,7071;
- 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b): 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2.
- Алгебра. 8 класс — квадратные корни: арифметический корень, вынесение множителя из-под знака корня, иррациональные числа. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — корень n-й степени и его свойства. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы — таблицы квадратов и квадратных корней. В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
