Средняя скорость на всём пути
Средняя скорость показывает, с какой постоянной скоростью нужно было бы двигаться, чтобы пройти тот же путь за то же время. Поэтому считают её так: складывают пути всех участков, складывают всё время и делят первое на второе: v = S : T.
На каждом участке нужно знать путь и время. Если известна скорость, недостающее находят по формулам движения: t = s : v или s = v · t. Например, 120 км со скоростью 60 км/ч — это 2 часа, а 180 км со скоростью 90 км/ч — тоже 2 часа. Весь путь 300 км, всё время 4 часа, средняя скорость 75 км/ч.
Единицы на всех участках должны быть одинаковыми: если время дано в минутах, а скорость в км/ч, минуты сначала переводят в часы — 30 мин = 0,5 ч. Решатель позволяет выбрать систему единиц — км и часы, метры и минуты или метры и секунды.
Формулы
- v = S : T — весь путь, делённый на всё время.
- Путь участка: s = v · t; время участка: t = s : v.
- Остановка — участок с путём 0: время идёт, путь не растёт. В решателе впишите путь 0 и время стоянки.
- Среднее арифметическое скоростей совпадает со средней скоростью, только если время на участках одинаковое.
Средняя скорость — это не среднее скоростей, а весь путь, делённый на всё время.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
Автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч и ещё 180 км со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Решение:
- 1) t₁ = s₁ : v₁ = 120 : 60 = 2 (ч) — время на 1-м участке.
- 2) t₂ = s₂ : v₂ = 180 : 90 = 2 (ч) — время на 2-м участке.
- 3) S = 120 + 180 = 300 (км) — весь путь.
- 4) T = 2 + 2 = 4 (ч) — всё время.
- 5) v = S : T = 300 : 4 = 75 (км/ч) — средняя скорость — весь путь, делённый на всё время.
Ответ: 75 км/ч.
Задача 2
Поезд шёл 2 ч со скоростью 50 км/ч и 3 ч со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость.
Решение:
- 1) s₁ = v₁ · t₁ = 50 · 2 = 100 (км) — путь на 1-м участке.
- 2) s₂ = v₂ · t₂ = 70 · 3 = 210 (км) — путь на 2-м участке.
- 3) S = 100 + 210 = 310 (км) — весь путь.
- 4) T = 2 + 3 = 5 (ч) — всё время.
- 5) v = S : T = 310 : 5 = 62 (км/ч) — средняя скорость — весь путь, делённый на всё время.
Среднее арифметическое скоростей (50 + 70) : 2 = 60 км/ч — не средняя скорость: на участках разное время.
Ответ: 62 км/ч.
Задача 3
Турист прошёл 6 км за 2 ч, затем 3 ч отдыхал и ещё 8 км прошёл за 2 ч. Найдите его среднюю скорость с учётом отдыха.
Решение:
- 1) s₂ = 0 (км), t₂ = 3 (ч) — остановка на 2-м участке — время идёт, путь не растёт.
- 2) S = 6 + 0 + 8 = 14 (км) — весь путь.
- 3) T = 2 + 3 + 2 = 7 (ч) — всё время.
- 4) v = S : T = 14 : 7 = 2 (км/ч) — средняя скорость — весь путь, делённый на всё время.
Ответ: 2 км/ч.
Задача 4
Велосипедист проехал 10 км со скоростью 20 км/ч и 15 км за 1 ч. Найдите среднюю скорость.
Решение:
- 1) t₁ = s₁ : v₁ = 10 : 20 = 0,5 (ч) — время на 1-м участке.
- 2) S = 10 + 15 = 25 (км) — весь путь.
- 3) T = 0,5 + 1 = 1,5 (ч) — всё время.
- 4) v = S : T = 25 : 1,5 = 50/3 ≈ 16,67 (км/ч) — средняя скорость — весь путь, делённый на всё время.
Среднее арифметическое скоростей (20 + 15) : 2 = 17,5 км/ч — не средняя скорость: на участках разное время.
Ответ: 50/3 ≈ 16,67 км/ч.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» калькулятора выше.
- Катер шёл 4 ч со скоростью 39 км/ч, а затем 2 ч со скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Катер прошёл 135 км со скоростью 45 км/ч и ещё 129 км со скоростью 43 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 100 км/ч, а обратно — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл 3 ч со скоростью 29 км/ч, а затем 3 ч со скоростью 21 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 90 км/ч, а обратно — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 110 км/ч, а обратно — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл из одного города в другой со скоростью 45 км/ч, а обратно — со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути туда и обратно.
- Поезд шёл из одного города в другой со скоростью 80 км/ч, а обратно — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всём пути туда и обратно.
Ответы
- 32 км/ч
- 44 км/ч
- 75 км/ч
- 25 км/ч
- 60 км/ч
- 99 км/ч
- 36 км/ч
- 96 км/ч
Частые ошибки
Складывают скорости. Скорости не складывают и не усредняют: складывают пути и время.
Забывают остановки. Если в условии сказано «с учётом остановки», время стоянки входит во всё время.
Смешивают единицы. 30 минут при скорости в км/ч — это 0,5 ч, а не 30.
- Физика. 7 класс — скорость, единицы скорости, средняя скорость при неравномерном движении. А. В. Пёрышкин. Школьный учебник.
- Математика. 5 класс — задачи на движение. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
