Средняя скорость: половина времени и половина пути
Когда время движения разбито на равные части, средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей. Пусть каждая половина длится t часов: за первую пройдено 40t км, за вторую — 60t км, всего 100t км за 2t часа. Средняя скорость 100t : 2t = 50 км/ч, и время t сократилось.
С половиной пути всё иначе: там одинаковы расстояния, а время на медленном участке больше. При тех же скоростях 40 и 60 км/ч средняя получается 2 · 40 · 60 : 100 = 48 км/ч. Поэтому в задаче важно внимательно прочитать, что именно разделено пополам — путь или время.
Обратная задача тоже решается просто. Чтобы за равные половины времени средняя стала 60 км/ч при 40 км/ч на первой половине, на второй нужно ехать 2 · 60 − 40 = 80 км/ч. Но если на первой половине скорость была больше удвоенной нужной средней, задача невозможна — даже стоя на месте, средней не снизить.
Формулы
- Равные промежутки времени: v = (v₁ + v₂ + … + vₖ) : k.
- Равные участки пути: v = k : (1/v₁ + … + 1/vₖ).
- Скорость на второй половине времени: v₂ = 2v − v₁.
- При равных половинах времени средняя скорость не меньше, чем при равных половинах пути.
Половина времени — среднее арифметическое скоростей, половина пути — среднее гармоническое.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
Первую половину времени автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, а вторую — 60 км/ч. Найдите среднюю скорость.
Решение:
- 1) Пусть каждый промежуток — t ч; всё время 2t — промежутки времени одинаковые.
- 2) S = 40t + 60t = 100t — весь путь: на каждом промежутке s = v · t.
- 3) v = 100t : 2t = 50 (км/ч) — средняя скорость — время t сокращается.
При равных промежутках времени средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей.
Ответ: 50 км/ч.
Задача 2
Поезд шёл первую треть времени со скоростью 50 км/ч, вторую — 70 км/ч, последнюю — 90 км/ч. Найдите среднюю скорость.
Решение:
- 1) Пусть каждый промежуток — t ч; всё время 3t — промежутки времени одинаковые.
- 2) S = 50t + 70t + 90t = 210t — весь путь: на каждом промежутке s = v · t.
- 3) v = 210t : 3t = 70 (км/ч) — средняя скорость — время t сокращается.
При равных промежутках времени средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей.
Ответ: 70 км/ч.
Задача 3
Первую половину времени велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью ему ехать вторую половину, чтобы средняя скорость была 15 км/ч?
Решение:
- 1) v = (v₁ + v₂) : 2 → v₂ = 2v − v₁ = 2 · 15 − 12 = 18 — при равных промежутках времени средняя — среднее арифметическое.
Ответ: 18 км/ч.
Задача 4
Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, вторую — 60 км/ч. Найдите среднюю скорость (сравните с задачей 1).
Решение:
- 1) Пусть каждый участок — s км; всего путь 2s — участки пути одинаковые.
- 2) T = s : 40 + s : 60 = s · (1/40 + 1/60) = s · (1/24) — всё время: на каждом участке t = s : v.
- 3) v = 2s : (s · (1/24)) = 2 : (1/24) = 48 (км/ч) — средняя скорость — путь s сокращается.
Формула для двух равных участков: v = 2v₁v₂ : (v₁ + v₂) = 2 · 40 · 60 : (40 + 60) = 48. Это меньше среднего арифметического 50: на медленном участке тратится больше времени.
Ответ: 48 км/ч.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» калькулятора выше.
- Катер шёл 4 ч со скоростью 39 км/ч, а затем 2 ч со скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Катер прошёл 135 км со скоростью 45 км/ч и ещё 129 км со скоростью 43 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 100 км/ч, а обратно — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл 3 ч со скоростью 29 км/ч, а затем 3 ч со скоростью 21 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 90 км/ч, а обратно — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 110 км/ч, а обратно — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл из одного города в другой со скоростью 45 км/ч, а обратно — со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути туда и обратно.
- Поезд шёл из одного города в другой со скоростью 80 км/ч, а обратно — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всём пути туда и обратно.
Ответы
- 32 км/ч
- 44 км/ч
- 75 км/ч
- 25 км/ч
- 60 км/ч
- 99 км/ч
- 36 км/ч
- 96 км/ч
Частые ошибки
Путают время и путь. «Первую половину времени» и «первую половину пути» — разные задачи с разными ответами: 50 и 48 км/ч.
Ищут время. Длительность половины времени знать не нужно — она сокращается.
Не проверяют ответ. Скорость на второй половине должна получиться положительной, иначе задача невозможна.
- Физика. 7 класс — скорость, единицы скорости, средняя скорость при неравномерном движении. А. В. Пёрышкин. Школьный учебник.
