Средняя скорость туда и обратно
Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Когда машина едет туда со скоростью 60 км/ч, а обратно — 40 км/ч, пути туда и обратно одинаковые, а время разное: на обратную дорогу уходит больше времени. Поэтому средняя скорость ближе к меньшей из скоростей и не равна среднему арифметическому 50 км/ч.
Посчитаем в общем виде. Пусть расстояние между городами s. Туда ушло s : 60 часа, обратно — s : 40 часа, всего s · (1/60 + 1/40) = s/24 часа. Весь путь 2s, значит, средняя скорость 2s : (s/24) = 48 км/ч. Расстояние сократилось — ответ от него не зависит. Для любых двух скоростей на равных участках получается формула v = 2v₁v₂ : (v₁ + v₂).
Если одинаковых участков три и больше, рассуждение то же: средняя скорость — число участков, делённое на сумму величин, обратных скоростям. Например, три равные трети пути со скоростями 30, 40 и 60 км/ч дают 3 : (1/30 + 1/40 + 1/60) = 40 км/ч. Такое среднее называют средним гармоническим.
Формулы
- Средняя скорость = весь путь : всё время.
- Два равных участка: v = 2v₁v₂ : (v₁ + v₂).
- k равных участков: v = k : (1/v₁ + 1/v₂ + … + 1/vₖ).
- Средняя скорость на равных участках меньше среднего арифметического скоростей (если скорости разные).
На медленном участке тратится больше времени, поэтому средняя скорость ближе к меньшей скорости.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 60 км/ч, а обратно — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Решение:
- 1) Пусть каждый участок — s км; всего путь 2s — участки пути одинаковые.
- 2) T = s : 60 + s : 40 = s · (1/60 + 1/40) = s · (1/24) — всё время: на каждом участке t = s : v.
- 3) v = 2s : (s · (1/24)) = 2 : (1/24) = 48 (км/ч) — средняя скорость — путь s сокращается.
Формула для двух равных участков: v = 2v₁v₂ : (v₁ + v₂) = 2 · 60 · 40 : (60 + 40) = 48. Это меньше среднего арифметического 50: на медленном участке тратится больше времени.
Ответ: 48 км/ч.
Задача 2
Велосипедист поднимался в гору со скоростью 10 км/ч, а спускался по той же дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите его среднюю скорость.
Решение:
- 1) Пусть каждый участок — s км; всего путь 2s — участки пути одинаковые.
- 2) T = s : 10 + s : 30 = s · (1/10 + 1/30) = s · (2/15) — всё время: на каждом участке t = s : v.
- 3) v = 2s : (s · (2/15)) = 2 : (2/15) = 15 (км/ч) — средняя скорость — путь s сокращается.
Формула для двух равных участков: v = 2v₁v₂ : (v₁ + v₂) = 2 · 10 · 30 : (10 + 30) = 15. Это меньше среднего арифметического 20: на медленном участке тратится больше времени.
Ответ: 15 км/ч.
Задача 3
Путь разбит на три равные части; их проехали со скоростями 30, 40 и 60 км/ч. Найдите среднюю скорость.
Решение:
- 1) Пусть каждый участок — s км; всего путь 3s — участки пути одинаковые.
- 2) T = s : 30 + s : 40 + s : 60 = s · (1/30 + 1/40 + 1/60) = s · 0,075 — всё время: на каждом участке t = s : v.
- 3) v = 3s : (s · 0,075) = 3 : 0,075 = 40 (км/ч) — средняя скорость — путь s сокращается.
Среднее арифметическое скоростей 130/3 ≈ 43,33 больше: на медленных участках тратится больше времени.
Ответ: 40 км/ч.
Задача 4
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч. С какой скоростью нужно проехать вторую половину, чтобы средняя скорость была 60 км/ч?
Решение:
- 1) 2 : v = 1/v₁ + 1/v₂ → 1/v₂ = 2 : 60 − 1/40 = 1/120 — при равных половинах пути: время s/v₁ + s/v₂ равно 2s/v.
- 2) v₂ = 1 : (1/120) = 120 (км/ч) — скорость на второй половине пути.
Ответ: 120 км/ч.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» калькулятора выше.
- Катер шёл 4 ч со скоростью 39 км/ч, а затем 2 ч со скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Катер прошёл 135 км со скоростью 45 км/ч и ещё 129 км со скоростью 43 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 100 км/ч, а обратно — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл 3 ч со скоростью 29 км/ч, а затем 3 ч со скоростью 21 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 90 км/ч, а обратно — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 110 км/ч, а обратно — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл из одного города в другой со скоростью 45 км/ч, а обратно — со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути туда и обратно.
- Поезд шёл из одного города в другой со скоростью 80 км/ч, а обратно — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всём пути туда и обратно.
Ответы
- 32 км/ч
- 44 км/ч
- 75 км/ч
- 25 км/ч
- 60 км/ч
- 99 км/ч
- 36 км/ч
- 96 км/ч
Частые ошибки
Берут среднее арифметическое. (60 + 40) : 2 = 50 — неверно: обратный путь занял больше времени. Правильно 48 км/ч.
Ищут расстояние. Расстояние в таких задачах не нужно: его можно обозначить s, и оно сократится.
Ждут, что «догнать» можно всегда. Если первую половину пути ехать 30 км/ч, средней 60 км/ч не получить никакой скоростью: всё время уже потрачено.
- Физика. 7 класс — скорость, единицы скорости, средняя скорость при неравномерном движении. А. В. Пёрышкин. Школьный учебник.
