Что такое средняя скорость
Средняя скорость — это скорость, с которой нужно было бы двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время. Её находят делением всего пути на всё время движения: v = S : T. Если автомобиль проехал 300 км за 4 часа, его средняя скорость 75 км/ч — даже если на трассе он ехал 90, а в городе 60.
В физике среднюю скорость вводят в 7 классе, когда говорят о неравномерном движении, а задачи на неё встречаются и в курсе математики. Формулы пути и времени на отдельном участке — те же, что в задачах на скорость, время и расстояние.
Три частых случая
| Что известно | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Любые участки | v = S : T | 120 км за 2 ч и 180 км за 2 ч → 75 км/ч |
| Равные участки пути | v = 2v₁v₂ : (v₁ + v₂) | туда 60, обратно 40 → 48 км/ч |
| Равные промежутки времени | v = (v₁ + v₂) : 2 | полчаса 40, полчаса 60 → 50 км/ч |
Во всех трёх случаях работает одна формула v = S : T — просто при равных участках пути сокращается расстояние, а при равных промежутках времени сокращается время, и получаются короткие готовые формулы.
Главная ловушка
Самая частая ошибка — усреднять скорости: «туда 60, обратно 40, значит, 50». Но обратно машина ехала полтора раза дольше, и эти медленные часы тянут среднюю вниз — выходит 48 км/ч. Среднее арифметическое скоростей даёт верный ответ, только если на каждой скорости провели одинаковое время.
Складывают не скорости, а пути и время.— Правило
Отсюда и классическая задача-загадка: первую половину пути машина ехала 30 км/ч — с какой скоростью ехать вторую половину, чтобы средняя стала 60 км/ч? Никакой: на первую половину уже ушло всё время, которое отводилось на весь путь при средней 60 км/ч. Режим «Какая нужна скорость» решает такие задачи и объясняет, когда ответа нет.
Примеры с решением
Задача 1
Автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч и ещё 180 км со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Решение:
- 1) t₁ = s₁ : v₁ = 120 : 60 = 2 (ч) — время на 1-м участке.
- 2) t₂ = s₂ : v₂ = 180 : 90 = 2 (ч) — время на 2-м участке.
- 3) S = 120 + 180 = 300 (км) — весь путь.
- 4) T = 2 + 2 = 4 (ч) — всё время.
- 5) v = S : T = 300 : 4 = 75 (км/ч) — средняя скорость — весь путь, делённый на всё время.
Ответ: 75 км/ч.
Задача 2
Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 60 км/ч, а обратно — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Решение:
- 1) Пусть каждый участок — s км; всего путь 2s — участки пути одинаковые.
- 2) T = s : 60 + s : 40 = s · (1/60 + 1/40) = s · (1/24) — всё время: на каждом участке t = s : v.
- 3) v = 2s : (s · (1/24)) = 2 : (1/24) = 48 (км/ч) — средняя скорость — путь s сокращается.
Формула для двух равных участков: v = 2v₁v₂ : (v₁ + v₂) = 2 · 60 · 40 : (60 + 40) = 48. Это меньше среднего арифметического 50: на медленном участке тратится больше времени.
Ответ: 48 км/ч.
Задача 3
Турист прошёл 6 км за 2 ч, затем 3 ч отдыхал и ещё 8 км прошёл за 2 ч. Найдите его среднюю скорость с учётом отдыха.
Решение:
- 1) s₂ = 0 (км), t₂ = 3 (ч) — остановка на 2-м участке — время идёт, путь не растёт.
- 2) S = 6 + 0 + 8 = 14 (км) — весь путь.
- 3) T = 2 + 3 + 2 = 7 (ч) — всё время.
- 4) v = S : T = 14 : 7 = 2 (км/ч) — средняя скорость — весь путь, делённый на всё время.
Ответ: 2 км/ч.
Задачи для тренировки
Задачи с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» калькулятора выше.
- Катер шёл 4 ч со скоростью 39 км/ч, а затем 2 ч со скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Катер прошёл 135 км со скоростью 45 км/ч и ещё 129 км со скоростью 43 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 100 км/ч, а обратно — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл 3 ч со скоростью 29 км/ч, а затем 3 ч со скоростью 21 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 90 км/ч, а обратно — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 110 км/ч, а обратно — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути туда и обратно.
- Катер шёл из одного города в другой со скоростью 45 км/ч, а обратно — со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость катера на всём пути туда и обратно.
- Поезд шёл из одного города в другой со скоростью 80 км/ч, а обратно — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всём пути туда и обратно.
Ответы
- 32 км/ч
- 44 км/ч
- 75 км/ч
- 25 км/ч
- 60 км/ч
- 99 км/ч
- 36 км/ч
- 96 км/ч
- Физика. 7 класс — скорость, единицы скорости, средняя скорость при неравномерном движении. А. В. Пёрышкин. Школьный учебник.
- Математика. 5 класс — задачи на движение. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
