Как составить магический квадрат

Как составить магический квадрат

Сначала — магическая сумма. Числа от 1 до n² в сумме дают n²(n² + 1) : 2, строк n, поэтому в каждой строке, столбце и на диагонали должно получиться S = n(n² + 1) : 2. Для 3 × 3 это 15, для 4 × 4 — 34, для 5 × 5 — 65, для 6 × 6 — 111. Дальше способ зависит от размера: нечётный, кратный 4 или чётный, но не кратный 4.

Нечётный размер (3, 5, 7, 9…) — сиамский метод. Число 1 ставим в середину верхней строки, каждое следующее — на клетку вверх и вправо. Выйдя за верхний край, переходим в нижнюю строку, за правый — в левый столбец. Если клетка занята, ставим число под предыдущим. Квадрат заполняется целиком, и все суммы сходятся.

Размер, кратный 4 (4, 8, 12, 16), — замена на диагоналях. Записываем числа от 1 до n² по порядку, строка за строкой. Делим квадрат на блоки 4 × 4 и в каждом блоке на обеих его диагоналях заменяем число x на n² + 1 − x. Остальные числа остаются на местах.

Размер 4k + 2 (6, 10, 14) — метод Стрейчи. Делим квадрат на четыре четверти: A слева сверху, C справа сверху, D слева снизу, B справа снизу. В каждую сиамским методом вписываем квадрат половинного размера: в A — числа от 1 до m², где m = n : 2, в B — следующие m², в C — ещё m², в D — последние. Затем в каждой строке меняем местами k левых клеток четверти A с клетками D под ними (в средней строке — клетки со второй по (k + 1)-ю), а k − 1 правых клеток четверти C — с клетками B; здесь k = (n − 2) : 4. Для 6 × 6 k = 1: меняются по одной клетке A и D в каждой строке, а C и B не трогаем.

Главное

1. Магическая сумма: S = n(n² + 1) : 2.
2. Нечётный n — сиамский метод: вверх и вправо, занято — вниз.
3. n кратно 4 — числа по порядку, на диагоналях блоков 4 × 4 x → n² + 1 − x.
4. n = 4k + 2 — метод Стрейчи: четыре сиамских квадрата и обмены между четвертями.

Любой магический квадрат можно повернуть или отразить — суммы останутся теми же.— Правило

Квадраты и построения

Магические суммы

Сиамский метод (нечётный порядок): 5 × 5

Магическая сумма — 65; числа идут по порядку ходами «вверх и вправо».

Метод для порядка, кратного 4: 8 × 8

Магическая сумма — 260; выделены клетки, где x заменили на 65 − x.

Метод Стрейчи (порядок 4k + 2): 6 × 6

Магическая сумма — 111; выделены клетки, которые поменяли местами между четвертями.

Частые ошибки

Один способ на все размеры. Сиамский метод не работает для чётных размеров, а замена на диагоналях — для 6 × 6 и 10 × 10: у каждого случая свой приём.

Путают блоки. Для 8 × 8 замены делают на диагоналях каждого блока 4 × 4, а не только на двух больших диагоналях квадрата.

Забывают средний ряд. В методе Стрейчи средняя строка четверти A меняется со сдвигом на одну клетку вправо — иначе диагонали не сойдутся.