Треугольник Паскаля

Что такое треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — это таблица чисел, в которой по краям стоят единицы, а каждое внутреннее число равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Из строки 1 3 3 1 получается 1 4 6 4 1: 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 1 = 4. Строки принято нумеровать с нуля — верхняя единица это строка 0, — и места в строке тоже с нуля.

Такое простое правило порождает удивительно много закономерностей: суммы строк — степени двойки, диагонали — натуральные и треугольные числа, пологие диагонали дают числа Фибоначчи, а если закрасить нечётные числа, проступает фрактал — треугольник Серпинского. Всё это можно подсветить в треугольнике выше.

Формула: биномиальные коэффициенты C(n, k)

Число на месте k в строке n — биномиальный коэффициент C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Он равен числу способов выбрать k предметов из n без учёта порядка: например, выбрать 2 дежурных из 6 учеников можно C(6, 2) = 15 способами. Правило «сумма двух сверху» — это тождество C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k): каждый выбор либо включает конкретный предмет, либо нет. Сочетания, перестановки и размещения удобно считать в калькуляторе комбинаторики.

C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k): каждое число треугольника — сумма двух чисел над ним.— Правило Паскаля

Треугольник Паскаля и бином Ньютона

Строка n — коэффициенты разложения (a + b)ⁿ. Например:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
• (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Если подставить a = b = 1, получится сумма строки: 2ⁿ. Если a = 1, b = −1 — знакопеременная сумма, она равна нулю при n ≥ 1: 1 − 4 + 6 − 4 + 1 = 0. Отсюда же вероятности: при n бросках монеты ровно k орлов выпадает в C(n, k) случаях из 2ⁿ — для четырёх бросков два орла выпадут в 6 случаях из 16.

При n = 2 и n = 3 это формулы сокращённого умножения — квадрат суммы и куб суммы. Раскрыть скобки по формуле с решением по шагам можно в калькуляторе на странице «Формулы сокращённого умножения».

Свойства треугольника Паскаля

• Симметрия: C(n, k) = C(n, n − k), строка читается одинаково с обеих сторон.
• Сумма строки n равна 2ⁿ — это число всех подмножеств множества из n элементов.
• Диагонали: первая — единицы, вторая — натуральные числа 1, 2, 3…, третья — треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15…, четвёртая — тетраэдрические 1, 4, 10, 20…
• «Хоккейная клюшка»: сумма чисел вдоль диагонали равна числу под её концом со сдвигом: 1 + 3 + 6 + 10 = 20.
• Числа Фибоначчи — суммы пологих диагоналей: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
• Простые строки: если номер строки — простое p, все числа между единицами делятся на p.
• Треугольник Серпинского: нечётные числа образуют фрактальный узор — выберите подсветку «чётные / нечётные» и 32 строки.

Первые 11 строк треугольника Паскаля

История

Треугольник назван в честь Блеза Паскаля, который систематически изучил его свойства в «Трактате об арифметическом треугольнике» — трактат написан в 1654 году и опубликован в 1665-м, уже после смерти автора. Но сама таблица известна гораздо раньше: в Китае её называют треугольником Ян Хуэя, в Иране — треугольником Хайяма, в Италии — треугольником Тартальи. Чаще всего она появлялась в связи с разложением (a + b)ⁿ и извлечением корней.