Магический квадрат 5 × 5
Сумма чисел от 1 до 25 равна 325, строк пять, поэтому магическая сумма квадрата 5 × 5 — 325 : 5 = 65. В квадрате, построенном сиамским методом, в центре стоит 13 — среднее из чисел от 1 до 25, — а числа, симметричные относительно центра, в сумме дают 26.
Сиамский метод описал в конце XVII века французский дипломат Симон де Ла Лубер, побывавший в Сиаме — так тогда называли Таиланд. Число 1 ставят в середину верхней строки, каждое следующее — на клетку вверх и вправо. Выйдя за верхний край, продолжают с нижней строки, за правый — с левого столбца. Если нужная клетка занята, число ставят под предыдущим; так бывает после каждого пятого числа.
Разных магических квадратов 5 × 5 очень много: 275 305 224 без учёта поворотов и отражений. Их подсчитал на компьютере Ричард Шреппель в 1973 году. В центре может стоять не только 13 — есть квадраты и с другими числами в середине.
Задания с квадратом 5 × 5 решаются так же, как с меньшими: находим магическую сумму и дополняем линии, в которых не хватает одного числа. Режим «Решить» решателя выше показывает каждый такой шаг.
Главное
- Магическая сумма чисел 1…25: 325 : 5 = 65.
- Сиамский метод: 1 — в середину верхней строки, дальше — вверх и вправо; занято — под предыдущим числом.
- Выход за верхний край — переход в нижнюю строку, за правый край — в левый столбец.
- В квадрате, построенном сиамским методом, в центре 13, а симметричные относительно центра числа дают 26.
Сиамский метод работает для любого нечётного размера: 3 × 3, 5 × 5, 7 × 7 и дальше.— Правило
Квадраты и построения
Построение 5 × 5 по шагам
| 17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
| 23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
| 4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
| 10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
| 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
| Число | Клетка | Ход |
|---|---|---|
| 1 | 1-я строка, 3-й столбец | в середину верхней строки |
| 2 | 5-я строка, 4-й столбец | вверх и вправо: вышли за верхний край — переходим в нижнюю строку |
| 3 | 4-я строка, 5-й столбец | на клетку вверх и вправо |
| 4 | 3-я строка, 1-й столбец | вверх и вправо: вышли за правый край — переходим в левый столбец |
| 5 | 2-я строка, 2-й столбец | на клетку вверх и вправо |
| 6 | 3-я строка, 2-й столбец | клетка вверху справа занята — ставим под предыдущим числом |
| 7 | 2-я строка, 3-й столбец | на клетку вверх и вправо |
| 8 | 1-я строка, 4-й столбец | на клетку вверх и вправо |
| 9 | 5-я строка, 5-й столбец | вверх и вправо: вышли за верхний край — переходим в нижнюю строку |
| 10 | 4-я строка, 1-й столбец | вверх и вправо: вышли за правый край — переходим в левый столбец |
| 11 | 5-я строка, 1-й столбец | клетка вверху справа занята — ставим под предыдущим числом |
Задачи с решением
Каждая задача решена по шагам: сначала находим магическую сумму, затем числа в линиях, где не хватает одного числа. Маленькая цифра в клетке ответа — номер шага.
Задача 1
Впишите в пустые клетки числа от 1 до 25 так, чтобы квадрат стал магическим.
| 17 | 24 | 15 | ||
| 5 | 14 | 16 | ||
| 4 | 6 | 20 | 22 | |
| 10 | 12 | 3 | ||
| 25 |
| 17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
| 23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
| 4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
| 10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
| 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
Решение по шагам:
- Числа от 1 до 25 в сумме дают 25 · 26 : 2 = 325. Их поровну делят 5 строк, поэтому магическая сумма — 325 : 5 = 65.
- 3-я строка: 65 − (4 + 6 + 20 + 22) = 13.
- 2-й столбец: 65 − (24 + 5 + 6 + 12) = 18.
- 5-й столбец: 65 − (15 + 16 + 22 + 3) = 9.
- Главная диагональ: 65 − (17 + 5 + 13 + 9) = 21.
- 4-я строка: 65 − (10 + 12 + 21 + 3) = 19.
- Побочная диагональ: 65 − (15 + 14 + 13 + 12) = 11.
- 5-я строка: 65 − (11 + 18 + 25 + 9) = 2.
- 1-й столбец: 65 − (17 + 4 + 10 + 11) = 23.
- 2-я строка: 65 − (23 + 5 + 14 + 16) = 7.
- 3-й столбец: 65 − (7 + 13 + 19 + 25) = 1.
- 1-я строка: 65 − (17 + 24 + 1 + 15) = 8.
- Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 65.
Задача 2
Восстановите магический квадрат 5 × 5, если в нём стоят только нечётные числа.
| 37 | 51 | 19 | ||
| 49 | 31 | |||
| 11 | 15 | 43 | ||
| 23 | 27 | 41 | 45 | 9 |
| 39 | 21 |
| 37 | 51 | 5 | 19 | 33 |
| 49 | 13 | 17 | 31 | 35 |
| 11 | 15 | 29 | 43 | 47 |
| 23 | 27 | 41 | 45 | 9 |
| 25 | 39 | 53 | 7 | 21 |
Решение по шагам:
- 4-я строка: 23 + 27 + 41 + 45 + 9 = 145. Значит, в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма — 145.
- 1-й столбец: 145 − (37 + 49 + 11 + 23) = 25.
- 2-й столбец: 145 − (51 + 15 + 27 + 39) = 13.
- 4-й столбец: 145 − (19 + 31 + 43 + 45) = 7.
- 5-я строка: 145 − (25 + 39 + 7 + 21) = 53.
- Главная диагональ: 145 − (37 + 13 + 45 + 21) = 29.
- 3-я строка: 145 − (11 + 15 + 29 + 43) = 47.
- Побочная диагональ: 145 − (31 + 29 + 27 + 25) = 33.
- 1-я строка: 145 − (37 + 51 + 19 + 33) = 5.
- 3-й столбец: 145 − (5 + 29 + 41 + 53) = 17.
- 2-я строка: 145 − (49 + 13 + 17 + 31) = 35.
- Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 145.
Частые ошибки
Путают направление. Если ходить вверх и влево, тоже получится магический квадрат — зеркальное отражение того, что даёт ход вверх и вправо. Главное — не менять направление посреди построения.
Пропускают занятую клетку. После каждого пятого числа клетка вверху справа уже занята — следующее число ставят под предыдущим, а не ищут свободную клетку дальше.
Берут не ту сумму. Для 5 × 5 из чисел 1–25 магическая сумма 65; у 3 × 3 — 15, у 4 × 4 — 34.
- Du Royaume de Siam — описание сиамского метода построения нечётных магических квадратов. Симон де Ла Лубер. Париж. 1691.
- Последовательность A006052: число магических квадратов порядка n из чисел 1…n² без учёта поворотов и отражений — 1, 0, 1, 880, 275 305 224. OEIS — энциклопедия целочисленных последовательностей.
