МАГ-02решение по шагамсумма 34задания с ответамиревизия 2026-09-27
Магический квадрат 4 × 4
Из чисел от 1 до 16 можно составить 880 разных магических квадратов 4 × 4 — у каждого сумма в строках, столбцах и на диагоналях равна 34.
3 задачи с решением · решатель · построение до 16 × 16 · задания для печати
Квадрат · МАГ-02|решение по шагам
calcal.ru / magicheskij-kvadrat-4-na-4
Загрузка…
Магический квадрат 4 × 4
Сумма чисел от 1 до 16 равна 136. Строк в квадрате четыре, поэтому магическая сумма — 136 : 4 = 34: столько дают каждая строка, каждый столбец и обе диагонали. В отличие от квадрата 3 × 3, вариантов здесь много — 880 без учёта поворотов и отражений, а с ними 7040. Все эти квадраты ещё в XVII веке перечислил французский математик Бернар Френикль де Бесси.
Самый известный квадрат 4 × 4 изображён на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I». В середине нижней строки стоят числа 15 и 14 — вместе они дают год создания гравюры, 1514. Кроме строк, столбцов и диагоналей, в квадрате Дюрера сумму 34 дают четыре угловых числа, четыре центральных и каждый из четырёх угловых квадратов 2 × 2.
Построить квадрат 4 × 4 проще всего так: записать числа от 1 до 16 по порядку, а на обеих диагоналях заменить каждое число x на 17 − x. Получится 16 2 3 13 / 5 11 10 8 / 9 7 6 12 / 4 14 15 1 — это квадрат Дюрера, в котором поменяли местами два средних столбца.
Школьные задания с квадратом 4 × 4 обычно решаются одним правилом: если в строке, столбце или на диагонали известны три числа из четырёх, четвёртое равно 34 минус их сумма. Если таких линий нет, решатель перебирает варианты расстановки оставшихся чисел и показывает, сколько их.
Главное
Магическая сумма чисел 1…16: 136 : 4 = 34.
Если в линии известны три числа, четвёртое равно 34 минус их сумма.
Построение: числа 1…16 по порядку, на обеих диагоналях x заменяем на 17 − x.
В квадрате Дюрера числа, симметричные относительно центра, дают 17, но это верно не для всех квадратов 4 × 4 — только для 384 из 7040.
Год создания гравюры Дюрера — 1514 — записан в середине нижней строки его магического квадрата.— Правило
Квадраты и построения
Квадрат Дюрера
Квадрат с гравюры «Меланхолия I». Выделены числа 15 и 14 — год 1514. Суммы строк, столбцов и диагоналей — справа, снизу и в углах.
Квадрат Дюрера
↙ 34
16
3
2
13
34
5
10
11
8
34
9
6
7
12
34
4
15
14
1
34
34
34
34
34
↘ 34
Метод для порядка, кратного 4: 4 × 4
Магическая сумма — 34; выделены клетки, где x заменили на 17 − x.
Магический квадрат 4 × 4
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1
Задачи с решением
Каждая задача решена по шагам: сначала находим магическую сумму, затем числа в линиях, где не хватает одного числа. Маленькая цифра в клетке ответа — номер шага.
Задача 1
Впишите в пустые клетки числа от 1 до 16 так, чтобы квадрат стал магическим.
Условие
3
16
1
11
15
8
2
12
7
Условие
Ответ
3
64
713
814
26
16
1
11
15
39
8
2
410
55
12
7
Ответ: сумма 34
Решение по шагам:
Числа от 1 до 16 в сумме дают 16 · 17 : 2 = 136. Их поровну делят 4 строки, поэтому магическая сумма — 136 : 4 = 34.
2-я строка: 34 − (16 + 1 + 11) = 6.
3-я строка: 34 − (15 + 8 + 2) = 9.
1-й столбец: 34 − (3 + 6 + 15) = 10.
4-я строка: 34 − (10 + 12 + 7) = 5.
2-й столбец: 34 − (16 + 9 + 5) = 4.
3-й столбец: 34 − (1 + 8 + 12) = 13.
1-я строка: 34 − (3 + 4 + 13) = 14.
Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 34.
Задача 2
Восстановите магический квадрат из чисел от 1 до 16.
Условие
9
3
16
13
12
1
4
5
11
Условие
Ответ
9
26
3
16
38
13
12
1
715
4
5
810
62
11
414
57
Ответ: сумма 34
Решение по шагам:
Числа от 1 до 16 в сумме дают 16 · 17 : 2 = 136. Их поровну делят 4 строки, поэтому магическая сумма — 136 : 4 = 34.
1-я строка: 34 − (9 + 3 + 16) = 6.
2-я строка: 34 − (13 + 12 + 1) = 8.
3-й столбец: 34 − (3 + 12 + 5) = 14.
Главная диагональ: 34 − (9 + 13 + 5) = 7.
4-я строка: 34 − (11 + 14 + 7) = 2.
1-й столбец: 34 − (9 + 8 + 2) = 15.
3-я строка: 34 − (15 + 4 + 5) = 10.
Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 34.
Задача 3
Заполните магический квадрат 4 × 4 (числа любые).
Условие
27
17
24
22
25
29
20
31
21
Условие
Ответ
27
17
24
230
22
532
25
619
29
723
418
828
20
326
31
21
Ответ: сумма 98
Решение по шагам:
1-й столбец: 27 + 22 + 29 + 20 = 98. Значит, в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма — 98.
1-я строка: 98 − (27 + 17 + 24) = 30.
4-я строка: 98 − (20 + 31 + 21) = 26.
3-й столбец: 98 − (24 + 25 + 31) = 18.
Главная диагональ: 98 − (27 + 18 + 21) = 32.
2-я строка: 98 − (22 + 32 + 25) = 19.
2-й столбец: 98 − (17 + 32 + 26) = 23.
3-я строка: 98 − (29 + 23 + 18) = 28.
Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 98.
Задания для печати
Шесть квадратов с ответами под кнопкой. Другие уровни, новый вариант и печать — в режиме «Задания для печати» выше.
Магические квадраты · 4 × 4, числа 1–16
вариант 7
Впишите числа в пустые клетки так, чтобы суммы в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях были равны. Каждое число используется один раз.
№ 1 · сумма 34
Задание 1
11
15
8
5
9
1
13
10
№ 2 · сумма 34
Задание 2
2
7
13
11
14
10
5
16
№ 3 · сумма 34
Задание 3
9
7
13
10
5
6
11
16
№ 4 · сумма 34
Задание 4
6
5
14
12
7
1
2
13
№ 5 · сумма 34
Задание 5
3
16
11
9
15
2
4
5
12
№ 6 · сумма 34
Задание 6
2
13
15
4
14
1
11
9
Ответы
№ 1 · сумма 34
Ответ к заданию 1
11
6
15
2
8
12
5
9
1
13
4
16
14
3
10
7
№ 2 · сумма 34
Ответ к заданию 2
12
2
7
13
11
8
1
14
6
15
10
3
5
9
16
4
№ 3 · сумма 34
Ответ к заданию 3
9
14
8
3
4
7
13
10
15
12
2
5
6
1
11
16
№ 4 · сумма 34
Ответ к заданию 4
11
6
9
8
5
3
14
12
16
10
7
1
2
15
4
13
№ 5 · сумма 34
Ответ к заданию 5
3
16
1
14
6
11
8
9
15
2
13
4
10
5
12
7
№ 6 · сумма 34
Ответ к заданию 6
12
2
13
7
5
15
4
10
8
14
1
11
9
3
16
6
Частые ошибки
Берут сумму от квадрата 3 × 3. Для 4 × 4 из чисел 1–16 магическая сумма 34, а не 15: она зависит от размера квадрата.
Проверяют только строки. Столбцы и обе диагонали тоже должны давать 34 — иначе квадрат не магический.
Ищут единственный ответ. Если задано мало чисел, подходящих квадратов может быть много: с одним заданным числом — сотни вариантов.
ИСТОЧНИКИ
Меланхолия I — гравюра с магическим квадратом 4 × 4.Альбрехт Дюрер. Гравюра на меди. 1514.
Des quarrez ou tables magiques — перечень 880 магических квадратов 4 × 4.Бернар Френикль де Бесси. Divers ouvrages de mathématique et de physique, Королевская академия наук, Париж. 1693.
Последовательность A006052: число магических квадратов порядка n из чисел 1…n² без учёта поворотов и отражений — 1, 0, 1, 880, 275 305 224.OEIS — энциклопедия целочисленных последовательностей.
34 для чисел от 1 до 16: сумма всех чисел 136 делится на четыре строки.
880 без учёта поворотов и отражений, 7040 — с ними.
Магический квадрат 4 × 4 из чисел 1–16 с суммой 34; в середине нижней строки записан год 1514.
Записать числа 1–16 по порядку и на обеих диагоналях заменить каждое число x на 17 − x.
Находить линии, где известны три числа из четырёх, и вычитать их сумму из 34; если таких линий нет — перебирать варианты, как делает решатель.
АВТОРverifiedред. calcal.ru
Лиана Арифметова
Создатель и главный редактор
Миссия: демократизировать сложные расчёты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Mathematical Engineering · МФТИ · редактирует каталог с 2012 года
Был ли этот калькулятор полезен?
ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ
Инструмент справочный — не заменяет эксперта
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Профессиональные решения — медицинские, финансовые, инженерные — должны приниматься только после консультации с квалифицированным специалистом. Не используйте автоматический расчёт как единственное основание для важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший из-за использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию результатов.
