Таблица квадратов двузначных чисел
Таблицу квадратов двузначных чисел печатают на форзаце школьных учебников алгебры: по ней быстро возводят в квадрат числа от 10 до 99 и извлекают корни из точных квадратов. Строка таблицы — число десятков, столбец — число единиц. Например, 47² ищут в строке 4 и столбце 7: 2209.
Ссылками отмечены квадраты, для которых есть подробный разбор корня — например, корень из 144 или корень из 961.
Квадраты и кубы чисел от 1 до 100
Тот же набор списком — удобнее, когда нужны и кубы. Квадраты растут на нечётные числа: 1, 4, 9, 16, 25 — разности 3, 5, 7, 9. Кубы нужны для объёмов: куб с ребром 5 см — это 5³ = 125 см³.
Как найти корень по таблице квадратов
Таблицу читают и в обратную сторону. Чтобы найти √1369, ищут 1369 внутри таблицы: оно стоит в строке 3 и столбце 7, значит, √1369 = 37. Если числа в таблице нет, оно не точный квадрат, а корень лежит между соседними значениями: 1 936 < 2000 < 2 025, поэтому √2000 между 44 и 45. Точнее — на калькуляторе квадратного корня: там же таблица корней от 1 до 100 и способ «столбиком».
Для чисел с чётным количеством нулей в конце корень находят, отбросив половину нулей: √250 000 = √25 · √10 000 = 5 · 100 = 500. Для десятичных дробей с чётным числом знаков после запятой — так же: √0,0144 = 0,12, потому что 12² = 144, а четыре знака после запятой дают два.
Как возвести в квадрат в уме
Числа, оканчивающиеся на 5. Число десятков умножьте на следующее за ним число и припишите 25: 65² → 6 · 7 = 42 → 4 225. Это формула (10a + 5)² = 100 · a(a + 1) + 25.
Около 50. (50 + k)² = 2500 + 100k + k²: 53² = 2500 + 300 + 9 = 2 809, 47² = 2500 − 300 + 9 = 2 209.
Около 100. (100 − k)² = 10 000 − 200k + k²: 97² = 10 000 − 600 + 9 = 9 409.
Любое двузначное. Разбейте на десятки и единицы: (a + b)² = a² + 2ab + b², 31² = 900 + 60 + 1 = 961. Если квадрат соседнего числа уже известен, прибавьте 2n + 1: 41² = 40² + 2 · 40 + 1 = 1 600 + 81 = 1 681.
Разность квадратов. a² − b² = (a − b)(a + b) избавляет от возведения в квадрат совсем: 52² − 48² = 4 · 100 = 400.
Квадрат суммы — не сумма квадратов: (a + b)² = a² + 2ab + b². Забытое 2ab — самая частая ошибка: 31² ≠ 900 + 1.— Правило
Разборы с доказательствами и примерами — квадрат суммы, квадрат разности и все формулы сокращённого умножения с калькулятором, который раскрывает скобки по шагам.
Как проверить, что число — квадрат
Быстрые признаки отсеивают большинство чисел без вычислений. Последняя цифра квадрата — только 0, 1, 4, 5, 6 или 9, потому что она определяется последней цифрой исходного числа. Нули в конце квадрата идут парами. Сумма цифр квадрата, если складывать её до одной цифры, даёт 1, 4, 7 или 9 — это остатки квадратов при делении на 9. Если число прошло все проверки, извлеките корень: целый результат означает точный квадрат.
Например, 7056: оканчивается на 6, сумма цифр 7 + 0 + 5 + 6 = 18 → 9. Признаки не запрещают квадрат, и действительно 7056 = 84². А 2023 оканчивается на 3 — квадратом оно быть не может.
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и разности, разность квадратов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Алгебра. 8 класс — квадратные корни, таблица квадратов двузначных чисел. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы — таблицы квадратов и кубов. В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
