Что такое магический квадрат
Магический квадрат — квадратная таблица чисел, в которой суммы в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинаковы. Эту общую сумму называют магической суммой или магической константой. Размер квадрата — число клеток в строке — называют его порядком: бывают квадраты 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 и больше. Магического квадрата 2 × 2 из разных чисел не существует: равенство сумм строк и столбцов сразу требует двух одинаковых чисел.
Чаще всего квадрат составляют из чисел от 1 до n², каждое по одному разу, — такой квадрат называют нормальным. Но в школьных заданиях числа бывают любыми: двузначными, дробными, отрицательными. Решатель на этой странице работает с обоими вариантами: для чисел 1…n² он учитывает, что числа не повторяются, и перебирает все возможные расстановки.
Магическая сумма
Для чисел от 1 до n² магическую сумму легко найти заранее. Все числа вместе дают n²(n² + 1) : 2, и эта сумма поровну делится между n строками.
Если числа в квадрате любые, магическую сумму находят по заполненной линии: складывают числа любой полной строки, столбца или диагонали. В квадрате 3 × 3 есть и второй способ — утроить число в центре. Подробно о квадратах разных размеров — на страницах «Магический квадрат 3 × 3», «4 × 4» и «5 × 5».
Как решать магический квадрат
- Найдите магическую сумму: по заполненной линии, по формуле для чисел 1…n² или, в квадрате 3 × 3, как утроенное число в центре.
- Ищите строку, столбец или диагональ, где не хватает одного числа: оно равно магической сумме минус сумма известных чисел этой линии.
- Каждое найденное число открывает новые линии с одной пустой клеткой — продолжайте, пока квадрат не заполнится.
- В квадрате 3 × 3 помогает центр: он равен трети суммы, а числа, симметричные относительно центра, в сумме дают удвоенный центр.
- Проверьте ответ: все строки, столбцы и обе диагонали должны дать одну и ту же сумму.
Пропущенное число в линии равно магической сумме минус сумма остальных чисел этой линии.— Правило
Бывает, что ни в одной линии не хватает всего одного числа. Тогда решатель составляет систему уравнений — «строки, столбцы и диагонали равны» — и находит из неё следующее число, а для чисел 1…n² перебирает варианты. Если данных мало, он честно сообщает, что решений несколько, и показывает их. Похожим способом, через равенства, решают и уравнения.
Виды магических квадратов
| Вид | Что совпадает | Пример |
|---|---|---|
| Полумагический | суммы всех строк и столбцов | диагонали могут не совпадать |
| Магический | строки, столбцы и обе диагонали | главное определение |
| Нормальный | магический из чисел 1…n², каждое по разу | Ло Шу, квадрат Дюрера |
| Ассоциативный | числа, симметричные относительно центра, дают одну сумму | Ло Шу (пары по 10), Дюрер (по 17) |
| Пандиагональный | ещё и все «ломаные» диагонали | бывают 4 × 4, 5 × 5 и больше; 3 × 3 — нет |
Режим «Проверить» определяет вид квадрата: считает суммы всех строк, столбцов и диагоналей, выделяет красным те, что не совпадают, и отмечает, нормальный ли квадрат, ассоциативный ли и пандиагональный. Среди 7040 квадратов 4 × 4 из чисел 1–16 ассоциативных 384 и пандиагональных тоже 384.
Немного истории
Самый старый известный магический квадрат — китайский Ло Шу, квадрат 3 × 3 из чисел от 1 до 9; по легенде, его узор был на панцире черепахи, вышедшей из реки Ло. В Европе знаменит квадрат 4 × 4 на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I»: в середине его нижней строки стоят числа 15 и 14 — год создания гравюры, 1514.
Квадрат Дюрера
Квадрат с гравюры «Меланхолия I». Выделены числа 15 и 14 — год 1514. Суммы строк, столбцов и диагоналей — справа, снизу и в углах.
| ↙ 34 | ||||
| 16 | 3 | 2 | 13 | 34 |
| 5 | 10 | 11 | 8 | 34 |
| 9 | 6 | 7 | 12 | 34 |
| 4 | 15 | 14 | 1 | 34 |
| 34 | 34 | 34 | 34 | ↘ 34 |
В конце XVII века французский дипломат Симон де Ла Лубер описал сиамский метод построения нечётных квадратов, а математик Бернар Френикль де Бесси перечислил все 880 квадратов 4 × 4 из чисел от 1 до 16. Число квадратов 5 × 5 — 275 305 224 — подсчитали только в 1973 году на компьютере. Как самому построить квадрат любого размера, рассказано на странице «Как составить магический квадрат», а готовые задания для школьников — на странице «Магические квадраты для детей».
Примеры с решением
Задача 1
В центре магического квадрата стоит 10, в верхних углах — 7 и 9. Заполните остальные клетки.
| 7 | 9 | |
| 10 | ||
| 7 | 14 | 9 |
| 12 | 10 | 8 |
| 11 | 6 | 13 |
Решение по шагам:
- В квадрате 3 × 3 магическая сумма равна утроенному числу в центре: 3 · 10 = 30.
- 1-я строка: 30 − (7 + 9) = 14.
- 2-й столбец: 30 − (14 + 10) = 6.
- Главная диагональ: 30 − (7 + 10) = 13.
- 3-я строка: 30 − (6 + 13) = 11.
- 1-й столбец: 30 − (7 + 11) = 12.
- 2-я строка: 30 − (12 + 10) = 8.
- Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 30.
Задача 2
Впишите в пустые клетки числа от 1 до 16 так, чтобы квадрат стал магическим.
| 3 | |||
| 16 | 1 | 11 | |
| 15 | 8 | 2 | |
| 12 | 7 |
| 3 | 4 | 13 | 14 |
| 6 | 16 | 1 | 11 |
| 15 | 9 | 8 | 2 |
| 10 | 5 | 12 | 7 |
Решение по шагам:
- Числа от 1 до 16 в сумме дают 16 · 17 : 2 = 136. Их поровну делят 4 строки, поэтому магическая сумма — 136 : 4 = 34.
- 2-я строка: 34 − (16 + 1 + 11) = 6.
- 3-я строка: 34 − (15 + 8 + 2) = 9.
- 1-й столбец: 34 − (3 + 6 + 15) = 10.
- 4-я строка: 34 − (10 + 12 + 7) = 5.
- 2-й столбец: 34 − (16 + 9 + 5) = 4.
- 3-й столбец: 34 − (1 + 8 + 12) = 13.
- 1-я строка: 34 − (3 + 4 + 13) = 14.
- Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 34.
- Магический квадрат. Математическая энциклопедия, т. 3. М.: Советская энциклопедия. 1982.
- Меланхолия I — гравюра с магическим квадратом 4 × 4. Альбрехт Дюрер. Гравюра на меди. 1514.
- Du Royaume de Siam — описание сиамского метода построения нечётных магических квадратов. Симон де Ла Лубер. Париж. 1691.
- Des quarrez ou tables magiques — перечень 880 магических квадратов 4 × 4. Бернар Френикль де Бесси. Divers ouvrages de mathématique et de physique, Королевская академия наук, Париж. 1693.
- Последовательность A006052: число магических квадратов порядка n из чисел 1…n² без учёта поворотов и отражений — 1, 0, 1, 880, 275 305 224. OEIS — энциклопедия целочисленных последовательностей.
