МАГ-01решение по шагамсумма 15задания с ответамиревизия 2026-09-27
Магический квадрат 3 × 3
Из чисел от 1 до 9 магический квадрат 3 × 3 складывается одним способом с точностью до поворотов и отражений: сумма в каждой строке, столбце и на диагоналях — 15, в центре всегда 5.
4 задачи с решением · решатель · построение до 16 × 16 · задания для печати
Квадрат · МАГ-01|решение по шагам
calcal.ru / magicheskij-kvadrat-3-na-3
Загрузка…
Магический квадрат 3 × 3
Магический квадрат 3 × 3 — таблица из девяти клеток, в которой суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинаковы. Самый известный вариант составлен из чисел от 1 до 9. Их сумма 45 делится поровну между тремя строками, поэтому каждая строка, каждый столбец и каждая диагональ дают 15.
В центре такого квадрата всегда стоит 5. Через центр проходят четыре линии — средняя строка, средний столбец и две диагонали, вместе они дают 4 · 15 = 60. В эти линии входят все девять клеток, но центральная — четыре раза, поэтому 45 + 3 · центр = 60, и центр равен 5. Чётные числа 2, 4, 6, 8 стоят в углах, нечётные 1, 3, 7, 9 — в серединах сторон, а числа, симметричные относительно центра, в сумме дают 10.
Всего из чисел 1–9 можно составить 8 магических квадратов, но все они получаются из одного поворотами и отражениями. В китайской традиции этот квадрат называют Ло Шу: по легенде, его узор был на панцире черепахи, вышедшей из реки Ло.
В школьных заданиях числа бывают любыми, и тогда работает то же рассуждение: магическая сумма квадрата 3 × 3 равна утроенному числу в центре, а числа, симметричные относительно центра, в сумме дают удвоенный центр. Решатель выше применяет эти правила по шагам и объясняет каждое найденное число.
Главное
Магическая сумма квадрата из чисел 1…9: 45 : 3 = 15.
Число в центре — треть магической суммы: для чисел 1…9 это 5, для любых чисел c = S : 3.
Числа, симметричные относительно центра, в сумме дают удвоенный центр: для чисел 1…9 — 10.
Если в строке, столбце или на диагонали известны два числа из трёх, третье равно S минус их сумма.
В квадрате 3 × 3 магическая сумма всегда в три раза больше числа в центре.— Правило
Квадраты и построения
Все восемь квадратов из чисел 1–9
Каждый получается из квадрата Ло Шу (первый) поворотом на 90°, 180° или 270° либо отражением. В центре везде 5, в углах — чётные числа.
Вариант 1
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Вариант 1
Вариант 2
2
9
4
7
5
3
6
1
8
Вариант 2
Вариант 3
8
3
4
1
5
9
6
7
2
Вариант 3
Вариант 4
4
3
8
9
5
1
2
7
6
Вариант 4
Вариант 5
6
1
8
7
5
3
2
9
4
Вариант 5
Вариант 6
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Вариант 6
Вариант 7
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Вариант 7
Вариант 8
6
7
2
1
5
9
8
3
4
Вариант 8
Задачи с решением
Каждая задача решена по шагам: сначала находим магическую сумму, затем числа в линиях, где не хватает одного числа. Маленькая цифра в клетке ответа — номер шага.
Задача 1
Расставьте числа от 1 до 9 так, чтобы квадрат стал магическим, если в верхней строке слева уже стоят 2 и 7.
Условие
2
7
Условие
Ответ
2
7
36
79
25
81
64
43
58
Ответ: сумма 15
Решение по шагам:
Числа от 1 до 9 в сумме дают 9 · 10 : 2 = 45. Их поровну делят 3 строки, поэтому магическая сумма — 45 : 3 = 15.
Число в центре квадрата 3 × 3 равно трети магической суммы: 15 : 3 = 5.
1-я строка: 15 − (2 + 7) = 6.
2-й столбец: 15 − (7 + 5) = 3.
Главная диагональ: 15 − (2 + 5) = 8.
3-я строка: 15 − (3 + 8) = 4.
1-й столбец: 15 − (2 + 4) = 9.
2-я строка: 15 − (9 + 5) = 1.
Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 15.
Задача 2
В центре магического квадрата стоит 10, в верхних углах — 7 и 9. Заполните остальные клетки.
Условие
7
9
10
Условие
Ответ
7
214
9
612
10
78
511
36
413
Ответ: сумма 30
Решение по шагам:
В квадрате 3 × 3 магическая сумма равна утроенному числу в центре: 3 · 10 = 30.
1-я строка: 30 − (7 + 9) = 14.
2-й столбец: 30 − (14 + 10) = 6.
Главная диагональ: 30 − (7 + 10) = 13.
3-я строка: 30 − (6 + 13) = 11.
1-й столбец: 30 − (7 + 11) = 12.
2-я строка: 30 − (12 + 10) = 8.
Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 30.
Задача 3
В нижней строке магического квадрата стоят числа 12, 5 и 10. Восстановите квадрат.
Условие
12
5
10
Условие
Ответ
48
313
56
67
29
711
12
5
10
Ответ: сумма 27
Решение по шагам:
3-я строка: 12 + 5 + 10 = 27. Значит, в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма — 27.
Число в центре квадрата 3 × 3 равно трети магической суммы: 27 : 3 = 9.
2-й столбец: 27 − (9 + 5) = 13.
Главная диагональ: 27 − (9 + 10) = 8.
1-я строка: 27 − (8 + 13) = 6.
1-й столбец: 27 − (8 + 12) = 7.
2-я строка: 27 − (7 + 9) = 11.
Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 27.
Задача 4
Магический квадрат из десятичных дробей: в центре 1,5, в верхних углах — 0,7 и 2,1. Заполните остальные клетки.
Условие
0,7
2,1
1,5
Условие
Ответ
0,7
21,7
2,1
62,9
1,5
70,1
50,9
31,3
42,3
Ответ: сумма 4,5
Решение по шагам:
В квадрате 3 × 3 магическая сумма равна утроенному числу в центре: 3 · 1,5 = 4,5.
1-я строка: 4,5 − (0,7 + 2,1) = 1,7.
2-й столбец: 4,5 − (1,7 + 1,5) = 1,3.
Главная диагональ: 4,5 − (0,7 + 1,5) = 2,3.
3-я строка: 4,5 − (1,3 + 2,3) = 0,9.
1-й столбец: 4,5 − (0,7 + 0,9) = 2,9.
2-я строка: 4,5 − (2,9 + 1,5) = 0,1.
Проверка: в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях сумма 4,5.
Задания для печати
Шесть квадратов с ответами под кнопкой. Другие уровни, новый вариант и печать — в режиме «Задания для печати» выше.
Магические квадраты · 3 × 3, числа 1–9
вариант 7
Впишите числа в пустые клетки так, чтобы суммы в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях были равны. Каждое число используется один раз.
№ 1 · сумма 15
Задание 1
5
4
2
№ 2 · сумма 15
Задание 2
6
5
9
2
№ 3 · сумма 15
Задание 3
9
7
6
№ 4 · сумма 15
Задание 4
9
3
1
6
№ 5 · сумма 15
Задание 5
4
1
2
№ 6 · сумма 15
Задание 6
7
6
4
Ответы
№ 1 · сумма 15
Ответ к заданию 1
8
1
6
3
5
7
4
9
2
№ 2 · сумма 15
Ответ к заданию 2
8
1
6
3
5
7
4
9
2
№ 3 · сумма 15
Ответ к заданию 3
4
3
8
9
5
1
2
7
6
№ 4 · сумма 15
Ответ к заданию 4
4
9
2
3
5
7
8
1
6
№ 5 · сумма 15
Ответ к заданию 5
4
3
8
9
5
1
2
7
6
№ 6 · сумма 15
Ответ к заданию 6
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Частые ошибки
Ставят в центр не 5. Для чисел от 1 до 9 в центре может стоять только 5: с любым другим числом четыре линии через центр не дадут по 15.
Забывают про диагонали. Квадрат, в котором равны только суммы строк и столбцов, называют полумагическим. В магическом квадрате должны сходиться и обе диагонали.
Повторяют числа. В задании «числа от 1 до 9» каждое число встречается ровно один раз — проверьте, что ни одно не пропущено.
ИСТОЧНИКИ
Магический квадрат.Математическая энциклопедия, т. 3. М.: Советская энциклопедия. 1982.
Последовательность A006052: число магических квадратов порядка n из чисел 1…n² без учёта поворотов и отражений — 1, 0, 1, 880, 275 305 224.OEIS — энциклопедия целочисленных последовательностей.
НЮАНСЫ
Что важно помнить
01
Сумма 15
Для чисел 1…9 в любой строке, столбце и диагонали.
02
Центр — 5
Для любых чисел центр равен трети магической суммы.
Найти магическую сумму — по заполненной линии или как утроенное число в центре, — затем в каждой линии, где не хватает одного числа, вычесть из суммы два известных.
15: сумма всех чисел 45 делится поровну на три строки.
5 — для чисел от 1 до 9. Для любых чисел центр равен трети магической суммы.
Восемь, и все они — повороты и отражения одного квадрата Ло Шу.
Взять девять чисел, идущих с одинаковым шагом, и расставить их так же, как 1–9 в квадрате Ло Шу. Например, 2, 4, …, 18 дают квадрат с суммой 30.
Да: решатель считает точными дробями и принимает десятичные дроби с запятой, дроби вида 1/2 и отрицательные числа.
АВТОРverifiedред. calcal.ru
Лиана Арифметова
Создатель и главный редактор
Миссия: демократизировать сложные расчёты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Mathematical Engineering · МФТИ · редактирует каталог с 2012 года
Был ли этот калькулятор полезен?
ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ
Инструмент справочный — не заменяет эксперта
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Профессиональные решения — медицинские, финансовые, инженерные — должны приниматься только после консультации с квалифицированным специалистом. Не используйте автоматический расчёт как единственное основание для важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший из-за использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию результатов.
