Формула: куб разности
Куб разности отличается от куба суммы только знаками: плюс и минус чередуются, начиная с плюса. Слагаемые с нечётной степенью b — 3a²b и b³ — идут с минусом, с чётной — a³ и 3ab² — с плюсом: (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1.
В отличие от квадрата разности, здесь порядок важен: (b − a)³ = −(a − b)³, потому что куб отрицательного числа отрицателен. Так, (1 − x)³ = 1 − 3x + 3x² − x³ = −(x − 1)³.
Доказательство
Запишем разность как сумму с противоположным выражением и применим формулу куба суммы: (a − b)³ = (a + (−b))³ = a³ + 3a² · (−b) + 3a · (−b)² + (−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Можно и напрямую: (a − b)³ = (a − b)²(a − b) = (a² − 2ab + b²)(a − b) = a³ − a²b − 2a²b + 2ab² + ab² − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.— Как читать формулу
Примеры: раскрыть скобки
(x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1
- Формула куба разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, где a = x, b = 1.
- a³ = x³; 3a²b = 3 · x² · 1 = 3x²; 3ab² = 3 · x · 1² = 3x; b³ = 1³ = 1.
- (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1.
(2x − 3)³ = 8x³ − 36x² + 54x − 27
- Формула куба разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, где a = 2x, b = 3.
- a³ = (2x)³ = 8x³; 3a²b = 3 · (2x)² · 3 = 36x²; 3ab² = 3 · 2x · 3² = 54x; b³ = 3³ = 27.
- (2x − 3)³ = 8x³ − 36x² + 54x − 27.
(a − 2b)³ = a³ − 6a²b + 12ab² − 8b³
- Формула куба разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, здесь первое выражение — a, второе выражение — 2b.
- a³ = a³; 3a²b = 3 · a² · 2b = 6a²b; 3ab² = 3 · a · (2b)² = 12ab²; b³ = (2b)³ = 8b³.
- (a − 2b)³ = a³ − 6a²b + 12ab² − 8b³.
Примеры: разложить на множители
Справа налево формула превращает многочлен в произведение. Сначала выносят общий множитель, если он есть, затем ищут подходящую формулу.
x³ − 6x² + 12x − 8 = (x − 2)³
- x³ − 6x² + 12x − 8 — полный куб: x³ − 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² − 2³ = (x − 2)³, формула куба разности.
27a³ − 27a²b + 9ab² − b³ = (3a − b)³
- 27a³ − 27a²b + 9ab² − b³ — полный куб: (3a)³ − 3 · (3a)² · b + 3 · 3a · b² − b³ = (3a − b)³, формула куба разности.
1 − 3y + 3y² − y³ = −(y − 1)³
- Выносим общий множитель −1: 1 − 3y + 3y² − y³ = −(y³ − 3y² + 3y − 1).
- y³ − 3y² + 3y − 1 — полный куб: y³ − 3 · y² · 1 + 3 · y · 1² − 1³ = (y − 1)³, формула куба разности.
Счёт в уме
Формула помогает считать без калькулятора: число заменяют суммой или разностью круглого и небольшого.
19³ = 6859
- 19 = 20 − 1, поэтому по формуле куба разности:
- 19³ = 20³ − 3 · 20² · 1 + 3 · 20 · 1² − 1³ = 8000 − 1200 + 60 − 1 = 6859.
99³ = 970 299
- 99 = 100 − 1, поэтому по формуле куба разности:
- 99³ = 100³ − 3 · 100² · 1 + 3 · 100 · 1² − 1³ = 1 000 000 − 30 000 + 300 − 1 = 970 299.
29³ = 24 389
- 29 = 30 − 1, поэтому по формуле куба разности:
- 29³ = 30³ − 3 · 30² · 1 + 3 · 30 · 1² − 1³ = 27 000 − 2700 + 90 − 1 = 24 389.
49³ = 117 649
- 49 = 50 − 1, поэтому по формуле куба разности:
- 49³ = 50³ − 3 · 50² · 1 + 3 · 50 · 1² − 1³ = 125 000 − 7500 + 150 − 1 = 117 649.
Частые ошибки
Все минусы подряд. (a − b)³ ≠ a³ − 3a²b − 3ab² − b³. Знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус.
(a − b)³ = a³ − b³. Проверка: (2 − 1)³ = 1, а 2³ − 1³ = 7. Потеряны средние слагаемые −3a²b + 3ab².
Меняют порядок без знака. (1 − x)³ ≠ (x − 1)³: это противоположные выражения, (1 − x)³ = −(x − 1)³.
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: куб суммы и разности, сумма и разность кубов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — формулы сокращённого умножения. М. Я. Выгодский. Справочник.
