Формула: квадрат разности
Формула квадрата разности почти совпадает с формулой квадрата суммы: меняется только знак удвоенного произведения. (x − 4)² = x² − 8x + 16 — квадраты обоих выражений всегда входят со знаком плюс, минус стоит лишь перед 2ab.
Полезное следствие: (a − b)² = (b − a)², потому что квадраты противоположных чисел равны. Поэтому (5 − y)² и (y − 5)² раскрываются одинаково: y² − 10y + 25. Формулой, как и квадратом суммы, пользуются в обе стороны — чтобы раскрыть скобки и чтобы свернуть трёхчлен вроде x² − 6x + 9 в квадрат (x − 3)².
Доказательство
Раскроем скобки: (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Два одинаковых слагаемых −ab дают удвоенное произведение со знаком минус.
Формулу можно получить и из квадрата суммы, если записать разность как сумму с противоположным выражением: (a − b)² = (a + (−b))² = a² + 2a · (−b) + (−b)² = a² − 2ab + b².
На рисунке квадрат со стороной a. Если отрезать от него две полосы шириной b — площадь каждой равна ab, — угловой квадрат b² окажется вычтен дважды, поэтому его прибавляют обратно: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.— Как читать формулу
Примеры: раскрыть скобки
(x − 4)² = x² − 8x + 16
- Формула квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b², где a = x, b = 4.
- a² = x²; 2ab = 2 · x · 4 = 8x; b² = 4² = 16.
- (x − 4)² = x² − 8x + 16.
(3a − 2b)² = 9a² − 12ab + 4b²
- Формула квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b², здесь первое выражение — 3a, второе выражение — 2b.
- a² = (3a)² = 9a²; 2ab = 2 · 3a · 2b = 12ab; b² = (2b)² = 4b².
- (3a − 2b)² = 9a² − 12ab + 4b².
(5 − y)² = 25 − 10y + y²
- Формула квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b², где a = 5, b = y.
- a² = 5² = 25; 2ab = 2 · 5 · y = 10y; b² = y².
- (5 − y)² = 25 − 10y + y².
(x² − 3)² = x⁴ − 6x² + 9
- Формула квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b², где a = x², b = 3.
- a² = (x²)² = x⁴; 2ab = 2 · x² · 3 = 6x²; b² = 3² = 9.
- (x² − 3)² = x⁴ − 6x² + 9.
Примеры: разложить на множители
Справа налево формула превращает многочлен в произведение. Сначала выносят общий множитель, если он есть, затем ищут подходящую формулу.
x² − 6x + 9 = (x − 3)²
- x² − 6x + 9 — полный квадрат: x² − 2 · x · 3 + 3² = (x − 3)², формула квадрата разности.
16a² − 40ab + 25b² = (4a − 5b)²
- 16a² − 40ab + 25b² — полный квадрат: (4a)² − 2 · 4a · 5b + (5b)² = (4a − 5b)², формула квадрата разности.
1 − 2y + y² = (y − 1)²
- 1 − 2y + y² — полный квадрат: y² − 2 · y · 1 + 1² = (y − 1)², формула квадрата разности.
Счёт в уме
Формула помогает считать без калькулятора: число заменяют суммой или разностью круглого и небольшого.
49² = 2401
- 49 = 50 − 1, поэтому по формуле квадрата разности:
- 49² = 50² − 2 · 50 · 1 + 1² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
98² = 9604
- 98 = 100 − 2, поэтому по формуле квадрата разности:
- 98² = 100² − 2 · 100 · 2 + 2² = 10 000 − 400 + 4 = 9604.
997² = 994 009
- 997 = 1000 − 3, поэтому по формуле квадрата разности:
- 997² = 1000² − 2 · 1000 · 3 + 3² = 1 000 000 − 6000 + 9 = 994 009.
79² = 6241
- 79 = 80 − 1, поэтому по формуле квадрата разности:
- 79² = 80² − 2 · 80 · 1 + 1² = 6400 − 160 + 1 = 6241.
Частые ошибки
Минус у квадрата второго. (a − b)² = a² − 2ab + b², а не a² − 2ab − b²: квадрат любого выражения неотрицателен, поэтому b² всегда со знаком плюс.
a² − b² вместо формулы. (a − b)² ≠ a² − b². Проверка: (5 − 3)² = 4, а 5² − 3² = 16.
Лишний минус при b − a. (5 − y)² = 25 − 10y + y² — то же, что (y − 5)². Менять знак у всего выражения не нужно.
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и разности, разность квадратов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — формулы сокращённого умножения. М. Я. Выгодский. Справочник.
