Формула: разность квадратов
Формула разности квадратов читается в обе стороны. Справа налево — это правило умножения: произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов, (x − 5)(x + 5) = x² − 25. Слева направо — способ разложить двучлен на множители: x² − 49 = (x − 7)(x + 7).
Средние слагаемые здесь взаимно уничтожаются, поэтому ответ получается коротким. На этом держится множество приёмов: сокращение дробей вида (x² − 9) / (x − 3) = x + 3 (при x ≠ 3), быстрый счёт 51 · 49 = 50² − 1² = 2499, полное разложение x⁴ − 1 = (x − 1)(x + 1)(x² + 1).
Доказательство
Перемножим разность и сумму: (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b². Слагаемые ab и −ba противоположны и в сумме дают ноль — остаются только квадраты.
Геометрически: вырежем из квадрата со стороной a маленький квадрат со стороной b. Оставшуюся фигуру в форме буквы «Г» можно разрезать и сложить в прямоугольник со сторонами a + b и a − b — его площадь (a − b)(a + b) равна a² − b². Геометрическое доказательство этого равенства тоже есть во второй книге «Начал» Евклида.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.— Как читать формулу
Примеры: раскрыть скобки
(x − 5)(x + 5) = x² − 25
- Одна скобка — сумма, другая — разность тех же выражений. Формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b², где a = x, b = 5.
- a² = x²; b² = 5² = 25.
- (x − 5)(x + 5) = x² − 25.
(3a + 2b)(3a − 2b) = 9a² − 4b²
- Одна скобка — сумма, другая — разность тех же выражений. Формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b², здесь первое выражение — 3a, второе выражение — 2b.
- a² = (3a)² = 9a²; b² = (2b)² = 4b².
- (3a + 2b)(3a − 2b) = 9a² − 4b².
(y² − 4)(y² + 4) = y⁴ − 16
- Одна скобка — сумма, другая — разность тех же выражений. Формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b², где a = y², b = 4.
- a² = (y²)² = y⁴; b² = 4² = 16.
- (y² − 4)(y² + 4) = y⁴ − 16.
Примеры: разложить на множители
Справа налево формула превращает многочлен в произведение. Сначала выносят общий множитель, если он есть, затем ищут подходящую формулу.
x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
- x² − 49 = x² − 7² — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = x, b = 7. Получаем (x − 7)(x + 7).
16a² − 25b² = (4a − 5b)(4a + 5b)
- 16a² − 25b² = (4a)² − (5b)² — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), здесь первое выражение — 4a, второе выражение — 5b. Получаем (4a − 5b)(4a + 5b).
x⁴ − 1 = (x − 1)(x + 1)(x² + 1)
- x⁴ − 1 = (x²)² − 1² — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = x², b = 1. Получаем (x² − 1)(x² + 1).
- x² − 1 = x² − 1² — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = x, b = 1. Получаем (x − 1)(x + 1).
2x² − 18 = 2(x − 3)(x + 3)
- Выносим общий множитель 2: 2x² − 18 = 2(x² − 9).
- x² − 9 = x² − 3² — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = x, b = 3. Получаем (x − 3)(x + 3).
Счёт в уме
Формула помогает считать без калькулятора: число заменяют суммой или разностью круглого и небольшого.
51 · 49 = 2499
- Середина между множителями — 50: 49 = 50 − 1, 51 = 50 + 1.
- По формуле разности квадратов: 51 · 49 = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499.
103 · 97 = 9991
- Середина между множителями — 100: 97 = 100 − 3, 103 = 100 + 3.
- По формуле разности квадратов: 103 · 97 = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9991.
47² − 43² = 360
- По формуле разности квадратов: 47² − 43² = (47 − 43)(47 + 43) = 4 · 90 = 360.
38 · 42 = 1596
- Середина между множителями — 40: 38 = 40 − 2, 42 = 40 + 2.
- По формуле разности квадратов: 38 · 42 = 40² − 2² = 1600 − 4 = 1596.
Частые ошибки
Путают с квадратом разности. a² − b² ≠ (a − b)². При a = 5, b = 3 разность квадратов равна 16, а квадрат разности — 4.
Раскладывают сумму квадратов. x² + 9 на множители с действительными коэффициентами не раскладывается: формула работает только для разности.
Останавливаются рано. x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1), но первая скобка — снова разность квадратов: ответ (x − 1)(x + 1)(x² + 1).
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и разности, разность квадратов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — формулы сокращённого умножения. М. Я. Выгодский. Справочник.
- Начала — книга II. Евклид. Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, Москва — Ленинград, ГИТТЛ.
