Формула: квадрат суммы
Формула квадрата суммы — первая из формул сокращённого умножения, которые изучают в курсе алгебры 7 класса. Она позволяет возвести сумму двух выражений в квадрат сразу, не перемножая скобки: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Главное, что нужно запомнить, — средний член 2ab: без него получается частая ошибка (a + b)² = a² + b².
Формулой пользуются в обе стороны. Слева направо — чтобы раскрыть скобки и упростить выражение. Справа налево — чтобы свернуть трёхчлен в квадрат: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Такой трёхчлен называют полным квадратом; это умение нужно, например, чтобы решать квадратные уравнения выделением полного квадрата.
Доказательство
Квадрат суммы — это произведение суммы на саму себя. Раскроем скобки по правилу умножения многочленов: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Два средних слагаемых ab и ba одинаковы — отсюда удвоенное произведение 2ab.
Геометрически формула видна на квадрате со стороной a + b: его площадь (a + b)² складывается из квадрата a², квадрата b² и двух одинаковых прямоугольников со сторонами a и b. Так эту формулу доказывал ещё Евклид — это предложение 4 второй книги «Начал».
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.— Как читать формулу
Примеры: раскрыть скобки
(x + 3)² = x² + 6x + 9
- Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b², где a = x, b = 3.
- a² = x²; 2ab = 2 · x · 3 = 6x; b² = 3² = 9.
- (x + 3)² = x² + 6x + 9.
(2a + 5b)² = 4a² + 20ab + 25b²
- Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b², здесь первое выражение — 2a, второе выражение — 5b.
- a² = (2a)² = 4a²; 2ab = 2 · 2a · 5b = 20ab; b² = (5b)² = 25b².
- (2a + 5b)² = 4a² + 20ab + 25b².
(3x² + 1)² = 9x⁴ + 6x² + 1
- Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b², где a = 3x², b = 1.
- a² = (3x²)² = 9x⁴; 2ab = 2 · 3x² · 1 = 6x²; b² = 1² = 1.
- (3x² + 1)² = 9x⁴ + 6x² + 1.
Примеры: разложить на множители
Справа налево формула превращает многочлен в произведение. Сначала выносят общий множитель, если он есть, затем ищут подходящую формулу.
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
- x² + 10x + 25 — полный квадрат: x² + 2 · x · 5 + 5² = (x + 5)², формула квадрата суммы.
4a² + 12ab + 9b² = (2a + 3b)²
- 4a² + 12ab + 9b² — полный квадрат: (2a)² + 2 · 2a · 3b + (3b)² = (2a + 3b)², формула квадрата суммы.
9y² + 6y + 1 = (3y + 1)²
- 9y² + 6y + 1 — полный квадрат: (3y)² + 2 · 3y · 1 + 1² = (3y + 1)², формула квадрата суммы.
Счёт в уме
Формула помогает считать без калькулятора: число заменяют суммой или разностью круглого и небольшого.
51² = 2601
- 51 = 50 + 1, поэтому по формуле квадрата суммы:
- 51² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
102² = 10 404
- 102 = 100 + 2, поэтому по формуле квадрата суммы:
- 102² = 100² + 2 · 100 · 2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
1003² = 1 006 009
- 1003 = 1000 + 3, поэтому по формуле квадрата суммы:
- 1003² = 1000² + 2 · 1000 · 3 + 3² = 1 000 000 + 6000 + 9 = 1 006 009.
31² = 961
- 31 = 30 + 1, поэтому по формуле квадрата суммы:
- 31² = 30² + 2 · 30 · 1 + 1² = 900 + 60 + 1 = 961.
Частые ошибки
Забывают удвоенное произведение. (a + b)² ≠ a² + b². Проверка на числах: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13. Разница 12 — это и есть 2 · 2 · 3.
Не возводят в квадрат коэффициент. (3x)² = 9x², а не 3x²: в квадрат возводится весь одночлен — и число, и буква.
Удваивают не то. Средний член — удвоенное произведение 2ab, а не 2a + 2b. Для (x + 5)² это 2 · x · 5 = 10x.
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и разности, разность квадратов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — формулы сокращённого умножения. М. Я. Выгодский. Справочник.
- Начала — книга II. Евклид. Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, Москва — Ленинград, ГИТТЛ.
