Формула: разность кубов
Неполный квадрат суммы — это a² + ab + b²: в полном квадрате суммы было бы 2ab. Формула разности кубов устроена зеркально формуле суммы кубов: в первой скобке минус, во второй перед ab — плюс. x³ − 27 = x³ − 3³ = (x − 3)(x² + 3x + 9).
Формула часто работает в паре с разностью квадратов. Например, x⁶ − 64 сначала раскладывают как разность квадратов (x³ − 8)(x³ + 8), а затем каждую скобку — по формулам разности и суммы кубов: (x − 2)(x² + 2x + 4)(x + 2)(x² − 2x + 4).
Доказательство
Раскроем скобки в правой части: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³. Все средние слагаемые сокращаются.
Проверка на числах: 3³ − 1³ = 26, а (3 − 1)(9 + 3 + 1) = 2 · 13 = 26.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.— Как читать формулу
Примеры: раскрыть скобки
(x − 2)(x² + 2x + 4) = x³ − 8
- Скобка из трёх членов — неполный квадрат суммы выражений x и 2. Формула разности кубов: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³, где a = x, b = 2.
- a³ = x³; b³ = 2³ = 8.
- (x − 2)(x² + 2x + 4) = x³ − 8.
(3a − b)(9a² + 3ab + b²) = 27a³ − b³
- Скобка из трёх членов — неполный квадрат суммы выражений 3a и b. Формула разности кубов: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³, здесь первое выражение — 3a, второе выражение — b.
- a³ = (3a)³ = 27a³; b³ = b³.
- (3a − b)(9a² + 3ab + b²) = 27a³ − b³.
Примеры: разложить на множители
Справа налево формула превращает многочлен в произведение. Сначала выносят общий множитель, если он есть, затем ищут подходящую формулу.
x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9)
- x³ − 27 = x³ − 3³ — разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), где a = x, b = 3. Получаем (x − 3)(x² + 3x + 9).
8a³ − b³ = (2a − b)(4a² + 2ab + b²)
- 8a³ − b³ = (2a)³ − b³ — разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), здесь первое выражение — 2a, второе выражение — b. Получаем (2a − b)(4a² + 2ab + b²).
1 − 125y³ = (1 − 5y)(1 + 5y + 25y²)
- 1 − 125y³ = 1³ − (5y)³ — разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), где a = 1, b = 5y. Получаем (1 − 5y)(1 + 5y + 25y²).
x⁶ − 64 = (x − 2)(x² + 2x + 4)(x + 2)(x² − 2x + 4)
- x⁶ − 64 = (x³)² − 8² — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b), где a = x³, b = 8. Получаем (x³ − 8)(x³ + 8).
- x³ − 8 = x³ − 2³ — разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), где a = x, b = 2. Получаем (x − 2)(x² + 2x + 4).
- x³ + 8 = x³ + 2³ — сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), где a = x, b = 2. Получаем (x + 2)(x² − 2x + 4).
Счёт в уме
Формула помогает считать без калькулятора: число заменяют суммой или разностью круглого и небольшого.
11³ − 10³ = 331
- По формуле разности кубов: 11³ − 10³ = (11 − 10)(11² + 11 · 10 + 10²) = 1 · 331 = 331.
21³ − 19³ = 2402
- По формуле разности кубов: 21³ − 19³ = (21 − 19)(21² + 21 · 19 + 19²) = 2 · 1201 = 2402.
8³ − 2³ = 504
- По формуле разности кубов: 8³ − 2³ = (8 − 2)(8² + 8 · 2 + 2²) = 6 · 84 = 504.
10³ − 9³ = 271
- По формуле разности кубов: 10³ − 9³ = (10 − 9)(10² + 10 · 9 + 9²) = 1 · 271 = 271.
Частые ошибки
Минус перед ab. Во второй скобке разности кубов — плюс: a² + ab + b². Минус перед ab бывает у суммы кубов.
a³ − b³ = (a − b)³. Это разные выражения: при a = 2, b = 1 разность кубов равна 7, а куб разности — 1.
Неполный квадрат как полный. x² + 2x + 4 ≠ (x + 2)²: в полном квадрате был бы средний член 4x. Такой трёхчлен на множители с действительными коэффициентами не раскладывается.
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: куб суммы и разности, сумма и разность кубов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — формулы сокращённого умножения. М. Я. Выгодский. Справочник.
