Формула: куб суммы
Формулу куба суммы получают из квадрата суммы: (a + b)³ = (a + b)²(a + b). В ответе четыре слагаемых, и степени в них меняются закономерно — у a убывают от 3 до 0, у b растут от 0 до 3: a³, a²b, ab², b³. Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка треугольника Паскаля.
Справа налево формула сворачивает четырёхчлен в куб: x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³. Чтобы узнать полный куб, проверьте крайние члены — это кубы x³ и 2³ — и средние: 3 · x² · 2 = 6x², 3 · x · 2² = 12x.
Доказательство
Умножим квадрат суммы на сумму: (a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Геометрический смысл: куб с ребром a + b разрезается на 8 частей — куб a³, куб b³, три бруска a × a × b и три бруска a × b × b. Их объёмы в сумме и дают формулу.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.— Как читать формулу
Примеры: раскрыть скобки
(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
- Формула куба суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, где a = x, b = 2.
- a³ = x³; 3a²b = 3 · x² · 2 = 6x²; 3ab² = 3 · x · 2² = 12x; b³ = 2³ = 8.
- (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
(2a + b)³ = 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³
- Формула куба суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, здесь первое выражение — 2a, второе выражение — b.
- a³ = (2a)³ = 8a³; 3a²b = 3 · (2a)² · b = 12a²b; 3ab² = 3 · 2a · b² = 6ab²; b³ = b³.
- (2a + b)³ = 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³.
(3 + y)³ = 27 + 27y + 9y² + y³
- Формула куба суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, где a = 3, b = y.
- a³ = 3³ = 27; 3a²b = 3 · 3² · y = 27y; 3ab² = 3 · 3 · y² = 9y²; b³ = y³.
- (3 + y)³ = 27 + 27y + 9y² + y³.
Примеры: разложить на множители
Справа налево формула превращает многочлен в произведение. Сначала выносят общий множитель, если он есть, затем ищут подходящую формулу.
x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³
- x³ + 6x² + 12x + 8 — полный куб: x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = (x + 2)³, формула куба суммы.
8a³ + 12a²b + 6ab² + b³ = (2a + b)³
- 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³ — полный куб: (2a)³ + 3 · (2a)² · b + 3 · 2a · b² + b³ = (2a + b)³, формула куба суммы.
27 + 27y + 9y² + y³ = (y + 3)³
- 27 + 27y + 9y² + y³ — полный куб: y³ + 3 · y² · 3 + 3 · y · 3² + 3³ = (y + 3)³, формула куба суммы.
Счёт в уме
Формула помогает считать без калькулятора: число заменяют суммой или разностью круглого и небольшого.
21³ = 9261
- 21 = 20 + 1, поэтому по формуле куба суммы:
- 21³ = 20³ + 3 · 20² · 1 + 3 · 20 · 1² + 1³ = 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261.
11³ = 1331
- 11 = 10 + 1, поэтому по формуле куба суммы:
- 11³ = 10³ + 3 · 10² · 1 + 3 · 10 · 1² + 1³ = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331.
101³ = 1 030 301
- 101 = 100 + 1, поэтому по формуле куба суммы:
- 101³ = 100³ + 3 · 100² · 1 + 3 · 100 · 1² + 1³ = 1 000 000 + 30 000 + 300 + 1 = 1 030 301.
32³ = 32 768
- 32 = 30 + 2, поэтому по формуле куба суммы:
- 32³ = 30³ + 3 · 30² · 2 + 3 · 30 · 2² + 2³ = 27 000 + 5400 + 360 + 8 = 32 768.
Частые ошибки
(a + b)³ = a³ + b³. Самая частая ошибка. Проверка: (1 + 1)³ = 8, а 1³ + 1³ = 2. Потеряны средние слагаемые 3a²b + 3ab².
Коэффициент 2 вместо 3. В кубе суммы коэффициенты 1, 3, 3, 1, а не 1, 2, 2, 1: двойка — из формулы квадрата.
Не возводят в куб коэффициент. (2a)³ = 8a³, а не 2a³ и не 6a³.
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: куб суммы и разности, сумма и разность кубов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — формулы сокращённого умножения. М. Я. Выгодский. Справочник.
