Формула: сумма кубов
Выражение a² − ab + b² называют неполным квадратом разности: от настоящего квадрата разности a² − 2ab + b² оно отличается тем, что произведение ab не удвоено. Отсюда и формулировка: сумма кубов равна произведению суммы на неполный квадрат разности.
Главное применение — разложение на множители: x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4). Справа налево формула сворачивает произведение: (x + 3)(x² − 3x + 9) = x³ + 27. Неполный квадрат при действительных a и b, не равных нулю одновременно, всегда положителен, поэтому дальше на множители с действительными коэффициентами он не раскладывается.
Доказательство
Перемножим правую часть: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³. Слагаемые −a²b и a²b, ab² и −ab² взаимно уничтожаются.
Формулу легко проверить и на числах: 2³ + 1³ = 9, а (2 + 1)(4 − 2 + 1) = 3 · 3 = 9.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.— Как читать формулу
Примеры: раскрыть скобки
(x + 3)(x² − 3x + 9) = x³ + 27
- Скобка из трёх членов — неполный квадрат разности выражений x и 3. Формула суммы кубов: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³, где a = x, b = 3.
- a³ = x³; b³ = 3³ = 27.
- (x + 3)(x² − 3x + 9) = x³ + 27.
(2a + 1)(4a² − 2a + 1) = 8a³ + 1
- Скобка из трёх членов — неполный квадрат разности выражений 2a и 1. Формула суммы кубов: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³, здесь первое выражение — 2a, второе выражение — 1.
- a³ = (2a)³ = 8a³; b³ = 1³ = 1.
- (2a + 1)(4a² − 2a + 1) = 8a³ + 1.
Примеры: разложить на множители
Справа налево формула превращает многочлен в произведение. Сначала выносят общий множитель, если он есть, затем ищут подходящую формулу.
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
- x³ + 8 = x³ + 2³ — сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), где a = x, b = 2. Получаем (x + 2)(x² − 2x + 4).
27a³ + 1 = (3a + 1)(9a² − 3a + 1)
- 27a³ + 1 = (3a)³ + 1³ — сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), здесь первое выражение — 3a, второе выражение — 1. Получаем (3a + 1)(9a² − 3a + 1).
x³ + 64y³ = (x + 4y)(x² − 4xy + 16y²)
- x³ + 64y³ = x³ + (4y)³ — сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), где a = x, b = 4y. Получаем (x + 4y)(x² − 4xy + 16y²).
x⁶ + 1 = (x² + 1)(x⁴ − x² + 1)
- x⁶ + 1 = (x²)³ + 1³ — сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), где a = x², b = 1. Получаем (x² + 1)(x⁴ − x² + 1).
Счёт в уме
Формула помогает считать без калькулятора: число заменяют суммой или разностью круглого и небольшого.
13³ + 7³ = 2540
- По формуле суммы кубов: 13³ + 7³ = (13 + 7)(13² − 13 · 7 + 7²) = 20 · 127 = 2540.
6³ + 4³ = 280
- По формуле суммы кубов: 6³ + 4³ = (6 + 4)(6² − 6 · 4 + 4²) = 10 · 28 = 280.
11³ + 9³ = 2060
- По формуле суммы кубов: 11³ + 9³ = (11 + 9)(11² − 11 · 9 + 9²) = 20 · 103 = 2060.
3³ + 2³ = 35
- По формуле суммы кубов: 3³ + 2³ = (3 + 2)(3² − 3 · 2 + 2²) = 5 · 7 = 35.
Частые ошибки
Удваивают ab. Во второй скобке стоит неполный квадрат a² − ab + b², без двойки. (a + b)(a² − 2ab + b²) — уже не a³ + b³.
Путают знаки. Для суммы кубов: плюс в первой скобке, минус перед ab во второй. Для разности кубов — наоборот.
Раскладывают неполный квадрат. x² − 2x + 4 на множители с действительными коэффициентами не раскладывается — на этом разложение заканчивается.
- Алгебра. 7 класс — формулы сокращённого умножения: куб суммы и разности, сумма и разность кубов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — формулы сокращённого умножения. М. Я. Выгодский. Справочник.
