Уравнение Шрёдингера
Эрвин Шрёдингер в 1926 году опубликовал уравнение, ставшее основой квантовой механики (Нобелевская премия 1933). Стационарная одномерная версия: −ℏ²/(2m) · ψ″(x) + V(x)·ψ(x) = E·ψ(x). Здесь ψ(x) — волновая функция (её квадрат |ψ|² — плотность вероятности найти частицу в точке x), V(x) — потенциал, E — энергия частицы, ℏ — приведённая постоянная Планка, m — масса.
В атомных единицах (ℏ = 1, m = 1) уравнение упрощается: −½ψ″ + V(x)ψ = Eψ.
Метод Numerov
Численное решение через метод Numerov (1924) — конечно-разностный метод с локальной погрешностью O(h⁶). Используется shooting-стратегия: для пробного значения E начинаем с ψ(x_min) = 0, ψ(x_min + h) ≈ 1e−10, прогоняем рекуррентное соотношение Numerov до x_max. Если ψ(x_max) ≠ 0 — E не собственное значение. Бинарным поиском по смене знака ψ(x_max) находим истинные собственные энергии E_n.
Пять потенциалов
- Гармонический осциллятор V = ½ω²x² — модель малых колебаний. Уровни E_n = ω(n + ½). Аналитическое решение через полиномы Эрмита.
- Бесконечная прямоугольная яма — частица заключена в [0, L]. Уровни E_n = π²n²/(2L²). Простейшая модель электрона в металле.
- Конечная прямоугольная яма — конечное число связанных уровней + непрерывный спектр выше барьера.
- Двойная яма — два минимума, разделённые барьером. Демонстрирует туннелирование и расщепление уровней (как в молекуле NH₃).
- Потенциал Морзе V = D(1 − e^(−α(x − x₀)))² − D — модель колебаний молекулы (с учётом ангармоничности и диссоциации).
Квантовое туннелирование
В классической физике частица не может пройти через область, где её энергия E меньше потенциала V (как мяч не может перепрыгнуть стену выше его энергии). В квантовой — может, с экспоненциально малой вероятностью: T ≈ exp(−2L√(2m(V−E))/ℏ). Это видно в нашей двойной яме: волновая функция не равна нулю в барьере, и частица может перейти из левой ямы в правую.
Туннелирование — фундаментальный квантовый эффект, без которого не работали бы: ядерный синтез в звёздах, α-распад радиоактивных ядер, сканирующий туннельный микроскоп (STM), полупроводниковые приборы.
- Quantum Mechanics, 3rd ed.. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter. Cambridge University Press. 2018.
- Introduction to Quantum Mechanics. David J. Griffiths. Pearson. 2nd ed., 2004.
- Numerical Recipes 3rd ed. — chapter 17. Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery. Cambridge University Press. 2007.
- Original Numerov paper (1924). Boris V. Numerov. Astronomische Nachrichten. 1924.
