Что такое теория игр
Теория игр — раздел прикладной математики, изучающий принятие решений в условиях стратегического взаимодействия — когда исход моих действий зависит не только от того, что делаю я, но и от того, что делают другие. Основоположники — John von Neumann и Oskar Morgenstern (1944, «Theory of Games and Economic Behavior»), John Nash (1950, теорема о равновесии).
Все математические задачи стратегии могут быть формализованы как игра.
— John von Neumann, 1944
Равновесие Нэша
Главная концепция теории игр — равновесие Нэша. Это набор стратегий игроков, в котором ни один не может улучшить свой выигрыш, односторонне отклонившись. Нэш в 1950 году доказал, что для любой конечной игры существует хотя бы одно равновесие в смешанных стратегиях. За это в 1994 он получил Нобелевскую премию по экономике (вместе с Selten и Harsanyi).
Равновесия бывают:
- Чистые — каждый игрок выбирает одну конкретную стратегию (например, обе стороны Признаются в дилемме).
- Смешанные — игроки используют распределения вероятностей (Орёл/Решка с 50/50 в орлянке).
Классические игры в нашей лаборатории
- Дилемма заключённого — парадокс индивидуальной рациональности vs кооперации.
- Ястреб–Голубь (Maynard Smith, 1973) — модель эволюции агрессии в биологии.
- Координационная игра — два равновесия: оба игрока выбирают A или оба B.
- Орлянка (Matching Pennies) — нет чистого равновесия, только смешанное.
- Битва полов — конфликт интересов с двумя чистыми равновесиями + одно смешанное.
Смешанные равновесия — формула
Для игры 2×2 смешанное равновесие находится из условия безразличия противника. Если игрок 1 играет A с вероятностью p, то для безразличия игрока 2 между его стратегиями: u₂(A,C)·p + u₂(B,C)·(1-p) = u₂(A,D)·p + u₂(B,D)·(1-p). Решая это уравнение, получаем p. Аналогично для q.
Применения
- Экономика: олигополии (Курно, Бертран), аукционы (Vickrey), ценовые войны.
- Политика: выборы (медианный избиратель), коалиции, голосование.
- Биология: эволюция альтруизма, hawk-dove, иммунный ответ.
- ИИ: AlphaGo, AlphaStar, AlphaZero — глубокое обучение с подкреплением + теория игр.
- Криптография: механизм-дизайн, Byzantine fault tolerance, blockchain consensus.
- Theory of Games and Economic Behavior. John von Neumann, Oskar Morgenstern. Princeton University Press. 1944.
- Equilibrium Points in N-Person Games. John F. Nash Jr.. PNAS 36(1). 1950.
- Game Theory. Drew Fudenberg, Jean Tirole. MIT Press. 1991.
- A Course in Game Theory. Martin J. Osborne, Ariel Rubinstein. MIT Press. 1994.
- Evolution and the Theory of Games. John Maynard Smith. Cambridge University Press. 1982.
