Калькулятор чисел Фибоначчи
Теория и определения
Фундаментальные понятия для работы с числами Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи
Последовательность, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих: F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2).
Итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) описал эту последовательность в 1202 году в книге "Liber Abaci" на примере размножения кроликов.
Золотое сечение (phi)
Иррациональное число phi = (1 + \u221A5) / 2 = 1.6180339887... Предел отношения соседних чисел Фибоначчи F(n+1)/F(n) при n к бесконечности.
Золотое сечение обладает уникальным свойством: оно является единственным числом, квадрат которого равен ему же плюс один. Это связывает его с геометрией, эстетикой и природой.
Фибоначчи в природе
Числа Фибоначчи встречаются повсеместно в живой природе, от расположения листьев до строения галактик.
- 1Спирали подсолнечника: 34 и 55 спиралей
- 2Лепестки цветов: 3, 5, 8, 13, 21
- 3Раковины моллюсков (спираль Наутилус)
- 4Расположение листьев на стебле (филлотаксис)
Где применяются числа Фибоначчи
От чистой математики до трейдинга и биоинформатики
Математика
Теория чисел, комбинаторика, теория кодирования. Тождества Фибоначчи (Кассини, Каталана, д'Окань) связывают члены ряда фундаментальными соотношениями.
Финансы и трейдинг
Уровни коррекции Фибоначчи (23.6%, 38.2%, 61.8%) используются в техническом анализе для определения зон поддержки и сопротивления на финансовых рынках.
Искусство и дизайн
Золотое сечение в композиции картин, фотографии и типографике. Золотой прямоугольникиспользуется в дизайне логотипов (Apple, Twitter/X, Google).
Архитектура
Пропорции Парфенона, пирамиды Хеопса, собора Нотр-Дам. Современные архитекторы используют золотое сечение для гармоничных фасадов и планировок.
Биология
Филлотаксис (расположение листьев), ветвление деревьев, спирали ДНК, пропорции тела человека, размножение популяций.
Computer Science
Фибоначчиевы кучи (O(1) amortized), кодирование Фибоначчи, поиск Фибоначчи, анализ сложности алгоритма Евклида, хэш-таблицы.
Математические формулы и алгоритмы
Ключевые формулы, тождества и методы вычисления чисел Фибоначчи
Рекуррентное соотношение
Базовые случаи: F(0) = 0, F(1) = 1. Наивная рекурсия имеет экспоненциальную сложность O(2^n). Итеративный подход за O(n), матричное возведение за O(log n).
Формула Бине (1843)
Где phi = (1+\u221A5)/2, psi = (1-\u221A5)/2. Позволяет вычислить F(n) за O(1) при наличии арифметики произвольной точности. С float-числами точна до n ~ 70.
Тождество Кассини (1680)
Произведение соседних чисел Фибоначчи, окружающих F(n), отличается от квадрата F(n) ровно на единицу. Это используется в криптографии и генерации пифагоровых троек.
Матричный метод
Возведение матрицы в степень n методом быстрого возведения позволяет вычислить F(n) за O(log n) операций. Наш калькулятор использует аналогичный подход (fast doubling).
def fib(n):
"""
Быстрое вычисление F(n) за O(log n).
Метод Fast Doubling:
F(2k) = F(k) * [2*F(k+1) - F(k)]
F(2k+1) = F(k)^2 + F(k+1)^2
"""
if n < 0:
raise ValueError("n должно быть >= 0")
if n <= 1:
return n
def helper(k):
if k == 0:
return (0, 1)
a, b = helper(k >> 1)
c = a * (2 * b - a)
d = a * a + b * b
if k & 1:
return (d, c + d)
return (c, d)
return helper(n)[0]
# Пример: F(1000) — число из 209 цифр
print(f"F(1000) = {fib(1000)}")
print(f"Длина: {len(str(fib(1000)))} цифр")Продвинутые темы
Обобщения и расширения последовательности Фибоначчи
Числа Люка
Последовательность Люка подчиняется тому же рекуррентному соотношению L(n) = L(n-1) + L(n-2), но с другими начальными условиями: L(0) = 2, L(1) = 1.
Связь: L(n) = F(n-1) + F(n+1). Числа Люка и Фибоначчи тесно связаны через формулу L(n) = phi^n + psi^n.
Трибоначчи
Обобщение: T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3), то есть каждый член является суммой трех предыдущих. Начальные значения: T(0) = 0, T(1) = 0, T(2) = 1.
Отношение T(n+1)/T(n) сходится к трибоначчиевой константе = 1.8392867552... (корень уравнения x³ = x² + x + 1).
Фибоначчи в трейдинге
Уровни коррекции Фибоначчи (retracement levels) — один из самых популярных инструментов технического анализа на финансовых рынках.
Представление Цекендорфа
Теорема Цекендорфа (1972): каждое натуральное число можно единственным образом представить в виде суммы несоседних чисел Фибоначчи.
Это аналог двоичной системы (система Фибоначчи), используется в кодировании Фибоначчи и сжатии данных.
Полезные советы
Практические рекомендации для работы с числами Фибоначчи
Используйте BigInt для больших n
При n > 78 стандартный Number в JavaScript теряет точность. Наш калькулятор использует BigInt для вычислений с произвольной точностью.
Проверяйте по критерию квадрата
Число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N²+4 или 5N²-4 является точным квадратом.
Формула Бине для оценок
Формула Бине идеальна для приближенных оценок и подсчета количества цифр: digits(F(n)) ~ n*log10(phi) + 0.5*log10(5).
Fast Doubling быстрее матриц
Метод быстрого удвоения (fast doubling) требует меньше умножений, чем матричное возведение в степень, хотя оба работают за O(log n).
НОД и Фибоначчи
НОД(F(m), F(n)) = F(НОД(m, n)). Это замечательное свойство связывает теорию делимости с последовательностью Фибоначчи.
Период Пизано
Последовательность F(n) mod m всегда периодична. Длина периода называется периодом Пизано pi(m). Например, pi(10) = 60.
Как пользоваться калькулятором
Пошаговая инструкция для начинающих
Выберите вкладку
Калькулятор имеет 5 режимов: вычисление n-го числа, генерация последовательности, проверка принадлежности, золотое сечение и формула Бине. Выберите нужный режим с помощью вкладок.
Введите данные
Введите порядковый номер n (для вычисления F(n)), количество чисел (для последовательности) или конкретное число (для проверки). Можно использовать кнопки быстрых примеров.
Получите результат
Нажмите кнопку вычисления или Enter. Результат появится мгновенно с дополнительной информацией: количество цифр, индекс в ряду, пошаговое решение.
Исследуйте свойства
Используйте вкладку "Золотое сечение" для наблюдения сходимости F(n+1)/F(n) к phi. Вкладка "Формула Бине" покажет пошаговое вычисление и сравнение с точным значением.
Часто задаваемые вопросы
Связанные математические калькуляторы
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.
Похожие инструменты
Калькулятор инвестиционных стратегий
Бэктест стратегий и оптимизация портфеля по Марковицу. Риск, доходность и Sharpe Ratio.
Калькулятор времени работы от батареи
Автономность устройства: ёмкость мАч/Вт·ч, потребление, КПД преобразователя. Для IoT, Arduino и электроники.
Калькулятор экологической химии
Индекс качества воды и воздуха, ПДК по российским нормам, расчёт рассеивания загрязнителей, конвертер экологических единиц.
Калькулятор гомеопатии: разведения, потенции, молекулы и реперторий
Гомеопатические расчёты онлайн: разведение D/C/LM, конвертер потенций, число молекул, реперторий, дозировка, приготовление раствора.
Калькулятор недвижимости (доходность, окупаемость)
Рассчитайте доходность аренды, Cap Rate, срок окупаемости, стоимость за м² и налоги при продаже недвижимости в России.
Калькулятор стипендии для студентов России
Расчёт академической и социальной стипендии, именных стипендий (Президента РФ — 22 800 руб.) и бюджета студента по ФЗ №273 и постановлениям Правительства.
Калькулятор механики материалов
Расчет напряжения, деформации, модуля Юнга, прогиба балок и устойчивости колонн (сопромат).
Калькулятор Аюрведы: определение доши, питание и биоритмы
Аюрведические расчёты онлайн: определение пракрити (Вата/Питта/Капха), викрити, питание по доше, биологические часы, специи, оценка агни.
Калькулятор A/B теста
Статистическая значимость A/B теста. Размер выборки, p-value, доверительный интервал и мощность теста.
Калькулятор IPO
Оценка компании по P/E, P/S и EV/EBITDA, объём размещения. Для Московской биржи.
Калькулятор для фрилансера (самозанятый, ИП)
Сравните налоговые режимы: самозанятый (НПД 4/6%), ИП на УСН 6/15%, Патент. Расчет чистого дохода и оптимального режима.
Калькулятор гляциологии
Масс-баланс ледника, водный эквивалент снега SWE, закон течения Глена, толщина льда, ELA, вклад в подъём уровня моря.
Калькулятор молочного производства
Расчёт нормализации молока по правилу Пирсона, выход молочных продуктов (масло, сыр, творог), себестоимость производства по нормам ТР ТС 033/2013.
Калькулятор деревьев для компенсации CO₂
Рассчитайте, сколько деревьев нужно посадить для компенсации углеродного следа. Экологический калькулятор лесовосстановления.
Калькулятор конденсатора (заряд, энергия, RC)
Расчёт ёмкости, заряда и энергии конденсатора. Соединение конденсаторов, RC-цепь, постоянная времени.