Калькулятор комбинаторики

Перестановки, сочетания, размещения, факториалы и биномиальные коэффициенты. Пошаговое решение с формулами и поддержкой больших чисел.

Факториал

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1

n (число)

Быстрые примеры

Загрузка калькулятора...

Типов расчёта

170!

Факториал

Режима

С повторениями и без

Step

Решение

Пошаговое

Основы комбинаторики

Три фундаментальных понятия, на которых строятся все комбинаторные вычисления.

Перестановки P(n)

Сколько способов расположить n элементов в ряд? Порядок важен, используются все элементы.

P(n) = n!

Пример: 3 книги на полке: P(3) = 3! = 6 способов расставить.

Сочетания C(n,k)

Сколько способов выбрать k элементов из n? Порядок НЕ важен.

C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

Пример: Выбрать 2 из 5 друзей: C(5,2) = 10 вариантов.

Размещения A(n,k)

Сколько способов выбрать k элементов из n с учётом порядка?

A(n,k) = n! / (n-k)!

Пример: Выбрать президента и вице из 10 человек: A(10,2) = 90.

Где применяется комбинаторика

От школьных задач до криптографии и генетики.

ЕГЭ / ОГЭ

Задачи на комбинаторику и вероятность входят в обязательную часть ЕГЭ по математике (профиль). Калькулятор помогает проверить решения.

Теория вероятностей

Подсчёт благоприятных и всех возможных исходов. Формула классической вероятности: P = m/n, где m и n находятся комбинаторными методами.

Криптография

Оценка стойкости шифров, количество возможных ключей и паролей. Пространство перебора определяется размещениями с повторениями.

Лотереи

Подсчёт шансов на выигрыш. Например, «6 из 45» = C(45,6) = 8 145 060 комбинаций. Вероятность джекпота примерно 1 к 8 миллионам.

Генетика

Комбинации генов, число возможных генотипов и фенотипов. Расчёт вариантов наследования признаков при скрещивании.

Программирование

Оценка сложности алгоритмов, генерация тестовых данных, задачи на динамическое программирование и перебор.

Полный справочник формул

Все основные формулы комбинаторики с примерами вычислений.

Факториал

n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1
0! = 1 (по определению)

5! = 5*4*3*2*1 = 120

Перестановки без повторений

P(n) = n!

P(4) = 4! = 24 способа расставить 4 предмета

Перестановки с повторениями

P(n; n1,n2,...,nk) = n! / (n1! * n2! * ... * nk!)

Слово «МАМА»: P(4;2,2) = 4!/(2!*2!) = 6

Сочетания без повторений

C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

C(10,3) = 10!/(3!*7!) = 120

Сочетания с повторениями

C̅(n,k) = C(n+k-1, k) = (n+k-1)! / (k! * (n-1)!)

3 вида фруктов, выбрать 5: C̅(3,5) = C(7,5) = 21

Размещения без повторений

A(n,k) = n! / (n-k)!

A(5,2) = 5!/3! = 20

Размещения с повторениями

A̅(n,k) = n^k

PIN-код из 4 цифр: 10^4 = 10 000

Субфакториал (беспорядки)

D(n) = n! * \u03A3((-1)^k / k!, k=0..n)

D(4) = 9 (перестановки, где ни один элемент не на своём месте)

Продвинутые темы

Для студентов и профессионалов: углублённые разделы комбинаторики.

Мультиномиальные коэффициенты

Обобщение биномиальных коэффициентов для разбиения на несколько групп. Применяются при раскрытии полиномов степени n.

C(n; k1,k2,...,km) = n! / (k1! * k2! * ... * km!)

Принцип включений-исключений

Метод подсчёта мощности объединения множеств. Позволяет считать элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств, без повторного учёта.

|A1 U A2 U ... U An| = Sum|Ai| - Sum|Ai n Aj| + ...

Производящие функции

Мощный аналитический инструмент. Кодируют последовательность чисел как коэффициенты степенного ряда, что позволяет решать рекуррентные соотношения.

G(x) = \u03A3 a_n * x^n, n=0..\u221E

Метод «звёзды и полоски»

Визуальный способ подсчёта числа решений уравнения x1+x2+...+xk = n в натуральных или неотрицательных числах. Широко применяется в олимпиадной математике.

Число решений = C(n+k-1, k-1)

Практические советы

Как избежать типичных ошибок при решении комбинаторных задач.

Определите: порядок важен?

Если да (пароль, расписание) — размещения или перестановки. Если нет (команда, набор) — сочетания.

Допустимы ли повторения?

Можно ли взять один элемент дважды? Если да — используйте формулы «с повторениями». Если нет — «без повторений».

Правило произведения

Если действия независимы, общее количество вариантов равно произведению вариантов каждого действия отдельно.

Правило суммы

Если выполняется одно ИЛИ другое действие (но не оба), общее количество — сумма вариантов каждого.

Проверяйте крайние случаи

C(n,0) = 1, C(n,n) = 1, 0! = 1. Если результат кажется слишком большим или малым — пересмотрите выбор формулы.

Большие числа? BigInt!

Факториалы растут невероятно быстро. Наш калькулятор использует BigInt для точных вычислений до 170! и выше.

Как пользоваться калькулятором

Четыре простых шага для получения точного результата.

Выберите тип расчёта

Переключитесь на нужную вкладку: факториал, перестановки, сочетания, размещения, биномиальный коэффициент или субфакториал.

Введите параметры

Укажите значения n, k и при необходимости включите режим «с повторениями». Для перестановок с повторениями введите количество повторяющихся элементов.

Получите результат

Результат рассчитывается мгновенно. Вы увидите использованную формулу, пошаговое решение и итоговое число.

Изучите решение

Разберите пошаговое решение, чтобы понять логику вычислений. Для биномиального коэффициента также отображается строка треугольника Паскаля.

ЧАСТЫЕ ВОПРОСЫ

Часто задаваемые вопросы

Перестановки P(n) — это расположение ВСЕХ n элементов в определённом порядке (используются все). Размещения A(n,k) — это выбор k элементов из n с учётом порядка (используется часть). При k = n размещения совпадают с перестановками: A(n,n) = P(n) = n!.

Если порядок важен (например, распределение мест: 1-е, 2-е, 3-е) — размещения. Если порядок не важен (просто выбрать группу людей без ролей) — сочетания. Простой тест: поменяйте элементы местами. Если результат другой — размещения, если тот же — сочетания.

Субфакториал D(n) — количество перестановок, при которых НИ ОДИН элемент не стоит на своём исходном месте (беспорядки, деранжементы). Классическая задача: n человек случайно берут шляпы. Какова вероятность, что никто не возьмёт свою? Ответ: D(n)/n!.

По математическому соглашению и для согласованности формул. Существует ровно один способ упорядочить пустое множество — не делать ничего. Также это необходимо для корректной работы формулы C(n,0) = n!/(0!*n!) = 1, что логично: есть один способ не выбрать ничего.

Калькулятор использует BigInt для целочисленных вычислений, что позволяет работать с числами произвольной длины. Для стандартных чисел с плавающей точкой предел — 170!, так как 171! превышает максимальное значение Number в JavaScript.

Это выбор k элементов из n типов, когда каждый тип можно брать многократно. Например, выбрать 5 шариков мороженого из 3 вкусов. Формула: C(n+k-1, k). Это также число решений уравнения x1 + x2 + ... + xn = k в неотрицательных целых числах.

Биномиальный коэффициент C(n,k) — это элемент треугольника Паскаля в строке n и позиции k. Каждый элемент равен сумме двух элементов сверху: C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k). Треугольник Паскаля даёт визуальный способ вычисления без факториалов.

Да, калькулятор идеально подходит для проверки решений задач по комбинаторике из ЕГЭ (профильный уровень). Пошаговое решение помогает понять ход вычислений. Однако на самом экзамене калькуляторы запрещены, поэтому используйте инструмент для обучения.

Это метод подсчёта элементов в объединении множеств. Если нужно найти |A U B|, формула: |A| + |B| - |A n B|. Для трёх множеств добавляется +|A n B n C|. Метод позволяет решать задачи типа «сколько чисел от 1 до 100 делятся на 2 или на 3».

Для целых чисел используется тип BigInt, который поддерживает числа произвольной длины без потери точности. Это критически важно для факториалов: уже 21! превышает максимальное целое число в обычной арифметике JavaScript. BigInt позволяет точно вычислить даже 1000!.

Был ли этот калькулятор полезен?

ревизия · 10 мая 2026

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ

Инструмент справочный — не заменяет эксперта

Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.

Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.

Профессиональные решения — медицинские, финансовые, инженерные — должны приниматься только после консультации с квалифицированным специалистом. Не используйте автоматический расчёт как единственное основание для важных решений.

Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший из-за использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию результатов.

СМЕЖНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

Калькулятор комбинаторики

Факториал

Быстрые примеры

Основы комбинаторики

Перестановки P(n)

Сочетания C(n,k)

Размещения A(n,k)

Где применяется комбинаторика

ЕГЭ / ОГЭ

Теория вероятностей

Криптография

Лотереи

Генетика

Программирование

Полный справочник формул

Факториал

Перестановки без повторений

Перестановки с повторениями

Сочетания без повторений

Сочетания с повторениями

Размещения без повторений

Размещения с повторениями

Субфакториал (беспорядки)

Продвинутые темы

Мультиномиальные коэффициенты

Принцип включений-исключений

Производящие функции

Метод «звёзды и полоски»

Практические советы

Определите: порядок важен?

Допустимы ли повторения?

Правило произведения

Правило суммы

Проверяйте крайние случаи

Большие числа? BigInt!

Как пользоваться калькулятором

Выберите тип расчёта

Введите параметры

Получите результат

Изучите решение

Часто задаваемые вопросы

Лиана Арифметова

Инструмент справочный — не заменяет эксперта

Похожие калькуляторы

Калькулятор теории вероятностей (nPr, nCr, распределения)

Калькулятор проверки гипотез (Z-test, t-test, χ², ANOVA)

Калькулятор корреляции и регрессии

Калькулятор распределений вероятностей

Калькулятор тригонометрии

Калькулятор описательной статистики

Калькулятор P-Value и мощности выборки

Калькулятор оптимизации: симплекс, рюкзак, генетика

Калькулятор дробей (смешанные и неправильные)

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор матриц

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор производных и интегралов

Калькулятор чисел Фибоначчи

Калькулятор золотого сечения

Факториал

Быстрые примеры