calcal.ru

Калькулятор комбинаторики

Перестановки, сочетания, размещения, факториалы и биномиальные коэффициенты. Пошаговое решение с формулами и поддержкой больших чисел.

Загрузка калькулятора...
6
Типов расчёта
170!
Факториал
2
Режима
С повторениями и без
Step
Решение
Пошаговое

Основы комбинаторики

Три фундаментальных понятия, на которых строятся все комбинаторные вычисления.

Перестановки P(n)

Сколько способов расположить n элементов в ряд? Порядок важен, используются все элементы.

P(n) = n!

Пример: 3 книги на полке: P(3) = 3! = 6 способов расставить.

Сочетания C(n,k)

Сколько способов выбрать k элементов из n? Порядок НЕ важен.

C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

Пример: Выбрать 2 из 5 друзей: C(5,2) = 10 вариантов.

Размещения A(n,k)

Сколько способов выбрать k элементов из n с учётом порядка?

A(n,k) = n! / (n-k)!

Пример: Выбрать президента и вице из 10 человек: A(10,2) = 90.

Где применяется комбинаторика

От школьных задач до криптографии и генетики.

ЕГЭ / ОГЭ

Задачи на комбинаторику и вероятность входят в обязательную часть ЕГЭ по математике (профиль). Калькулятор помогает проверить решения.

Теория вероятностей

Подсчёт благоприятных и всех возможных исходов. Формула классической вероятности: P = m/n, где m и n находятся комбинаторными методами.

Криптография

Оценка стойкости шифров, количество возможных ключей и паролей. Пространство перебора определяется размещениями с повторениями.

Лотереи

Подсчёт шансов на выигрыш. Например, «6 из 45» = C(45,6) = 8 145 060 комбинаций. Вероятность джекпота примерно 1 к 8 миллионам.

Генетика

Комбинации генов, число возможных генотипов и фенотипов. Расчёт вариантов наследования признаков при скрещивании.

Программирование

Оценка сложности алгоритмов, генерация тестовых данных, задачи на динамическое программирование и перебор.

Полный справочник формул

Все основные формулы комбинаторики с примерами вычислений.

Факториал

n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1
0! = 1 (по определению)

5! = 5*4*3*2*1 = 120

Перестановки без повторений

P(n) = n!

P(4) = 4! = 24 способа расставить 4 предмета

Перестановки с повторениями

P(n; n1,n2,...,nk) = n! / (n1! * n2! * ... * nk!)

Слово «МАМА»: P(4;2,2) = 4!/(2!*2!) = 6

Сочетания без повторений

C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

C(10,3) = 10!/(3!*7!) = 120

Сочетания с повторениями

C̅(n,k) = C(n+k-1, k) = (n+k-1)! / (k! * (n-1)!)

3 вида фруктов, выбрать 5: C̅(3,5) = C(7,5) = 21

Размещения без повторений

A(n,k) = n! / (n-k)!

A(5,2) = 5!/3! = 20

Размещения с повторениями

A̅(n,k) = n^k

PIN-код из 4 цифр: 10^4 = 10 000

Субфакториал (беспорядки)

D(n) = n! * \u03A3((-1)^k / k!, k=0..n)

D(4) = 9 (перестановки, где ни один элемент не на своём месте)

Продвинутые темы

Для студентов и профессионалов: углублённые разделы комбинаторики.

Мультиномиальные коэффициенты

Обобщение биномиальных коэффициентов для разбиения на несколько групп. Применяются при раскрытии полиномов степени n.

C(n; k1,k2,...,km) = n! / (k1! * k2! * ... * km!)

Принцип включений-исключений

Метод подсчёта мощности объединения множеств. Позволяет считать элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств, без повторного учёта.

|A1 U A2 U ... U An| = Sum|Ai| - Sum|Ai n Aj| + ...

Производящие функции

Мощный аналитический инструмент. Кодируют последовательность чисел как коэффициенты степенного ряда, что позволяет решать рекуррентные соотношения.

G(x) = \u03A3 a_n * x^n, n=0..\u221E

Метод «звёзды и полоски»

Визуальный способ подсчёта числа решений уравнения x1+x2+...+xk = n в натуральных или неотрицательных числах. Широко применяется в олимпиадной математике.

Число решений = C(n+k-1, k-1)

Практические советы

Как избежать типичных ошибок при решении комбинаторных задач.

1

Определите: порядок важен?

Если да (пароль, расписание) — размещения или перестановки. Если нет (команда, набор) — сочетания.

2

Допустимы ли повторения?

Можно ли взять один элемент дважды? Если да — используйте формулы «с повторениями». Если нет — «без повторений».

3

Правило произведения

Если действия независимы, общее количество вариантов равно произведению вариантов каждого действия отдельно.

4

Правило суммы

Если выполняется одно ИЛИ другое действие (но не оба), общее количество — сумма вариантов каждого.

5

Проверяйте крайние случаи

C(n,0) = 1, C(n,n) = 1, 0! = 1. Если результат кажется слишком большим или малым — пересмотрите выбор формулы.

6

Большие числа? BigInt!

Факториалы растут невероятно быстро. Наш калькулятор использует BigInt для точных вычислений до 170! и выше.

Как пользоваться калькулятором

Четыре простых шага для получения точного результата.

1

Выберите тип расчёта

Переключитесь на нужную вкладку: факториал, перестановки, сочетания, размещения, биномиальный коэффициент или субфакториал.

2

Введите параметры

Укажите значения n, k и при необходимости включите режим «с повторениями». Для перестановок с повторениями введите количество повторяющихся элементов.

3

Получите результат

Результат рассчитывается мгновенно. Вы увидите использованную формулу, пошаговое решение и итоговое число.

4

Изучите решение

Разберите пошаговое решение, чтобы понять логику вычислений. Для биномиального коэффициента также отображается строка треугольника Паскаля.

Часто задаваемые вопросы

Перестановки P(n) — это расположение ВСЕХ n элементов в определённом порядке (используются все). Размещения A(n,k) — это выбор k элементов из n с учётом порядка (используется часть). При k = n размещения совпадают с перестановками: A(n,n) = P(n) = n!.
Если порядок важен (например, распределение мест: 1-е, 2-е, 3-е) — размещения. Если порядок не важен (просто выбрать группу людей без ролей) — сочетания. Простой тест: поменяйте элементы местами. Если результат другой — размещения, если тот же — сочетания.
Субфакториал D(n) — количество перестановок, при которых НИ ОДИН элемент не стоит на своём исходном месте (беспорядки, деранжементы). Классическая задача: n человек случайно берут шляпы. Какова вероятность, что никто не возьмёт свою? Ответ: D(n)/n!.
По математическому соглашению и для согласованности формул. Существует ровно один способ упорядочить пустое множество — не делать ничего. Также это необходимо для корректной работы формулы C(n,0) = n!/(0!*n!) = 1, что логично: есть один способ не выбрать ничего.
Калькулятор использует BigInt для целочисленных вычислений, что позволяет работать с числами произвольной длины. Для стандартных чисел с плавающей точкой предел — 170!, так как 171! превышает максимальное значение Number в JavaScript.
Это выбор k элементов из n типов, когда каждый тип можно брать многократно. Например, выбрать 5 шариков мороженого из 3 вкусов. Формула: C(n+k-1, k). Это также число решений уравнения x1 + x2 + ... + xn = k в неотрицательных целых числах.
Биномиальный коэффициент C(n,k) — это элемент треугольника Паскаля в строке n и позиции k. Каждый элемент равен сумме двух элементов сверху: C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k). Треугольник Паскаля даёт визуальный способ вычисления без факториалов.
Да, калькулятор идеально подходит для проверки решений задач по комбинаторике из ЕГЭ (профильный уровень). Пошаговое решение помогает понять ход вычислений. Однако на самом экзамене калькуляторы запрещены, поэтому используйте инструмент для обучения.
Это метод подсчёта элементов в объединении множеств. Если нужно найти |A U B|, формула: |A| + |B| - |A n B|. Для трёх множеств добавляется +|A n B n C|. Метод позволяет решать задачи типа «сколько чисел от 1 до 100 делятся на 2 или на 3».
Для целых чисел используется тип BigInt, который поддерживает числа произвольной длины без потери точности. Это критически важно для факториалов: уже 21! превышает максимальное целое число в обычной арифметике JavaScript. BigInt позволяет точно вычислить даже 1000!.
Лиана Арифметова
Создатель

Лиана Арифметова

Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».

⚖️

Отказ от ответственности

Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.

Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.

Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.

Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.

Похожие инструменты

📐

Калькулятор матриц

Вычисление определителя, обратной матрицы, ранга и собственных значений. Удобный интерфейс с решением.

⚙️

Калькулятор гидроэнергетики: мощность ГЭС, турбины и малые ГЭС

Расчёты гидроэнергетики: мощность ГЭС (P = ρgQHη), выбор турбины (Пельтон/Фрэнсис/Каплан), малые ГЭС, AEP, гидрология.

🌿

Калькулятор водного следа

Рассчитайте свой личный водный след. Узнайте, сколько воды тратится на ваш образ жизни: душ, еда, вещи.

🧮

Счётчик символов и слов онлайн

Символы с пробелами и без, слова, предложения, время чтения. Для SEO, соцсетей и копирайтинга.

🏥

Калькулятор VO2max

Рассчитайте VO2max по формулам Купера, результатам бега или на велоэргометре. Оценка аэробной выносливости.

🧮

Калькулятор франшизы

Паушальный взнос, роялти, срок окупаемости, ROI и чистая прибыль. Для России 2024–2025.

💰

Калькулятор стоимости стартапа (Valuation & Burn Rate)

Рассчитайте Pre-money и Post-money оценку, Burn Rate и Runway. Инструмент для планирования раундов инвестиций.

📐

Калькулятор производных и интегралов

Символьные и численные методы, пошаговые решения. Поддержка сложных функций и прикладных задач.

🧮

Генератор CSS box-shadow

Визуальный редактор теней CSS. Offset, blur, spread, цвет. Множественные тени, inset. Копирование кода.

🏥

Калькулятор нутрициологии: нутриенты, PDCAAS, гликемическая нагрузка и HEI

Нутрициологические расчёты: суточная норма нутриентов (МР 2.3.1), аминокислотный скор PDCAAS, гликемическая нагрузка, баланс Омега-3/6, HEI.

🏥

Калькулятор токсикологии

LD50, NOAEL/LOAEL, референтная доза, оценка экспозиции, коэффициент опасности, формула Видмарка, антидоты отравлений.

💻

Калькулятор CSS-анимаций: easing, keyframes, тайминг, спрайты

Комплексный инструмент для веб-анимаций. Визуализация easing-функций, генератор @keyframes, расчёт тайминга и stagger-задержек, спрайтовая анимация, бюджет производительности 60fps и генерация motion-токенов.

🧮

Калькулятор пчеловодства

Расчёт производства мёда и воска, кормления пчёл на зимовку, экономики пасеки. По нормам ГОСТ 19792-2017 и ветеринарным правилам РФ.

⚙️

Калькулятор фильтров НЧ и ВЧ (RC/LC)

Фильтры нижних и верхних частот. Построение АЧХ, подбор компонентов RC и LC цепей. Формулы.

🏥

Калькулятор протезирования: длина протеза, K-levels, нагрузки и ортезы

Расчёты протезирования онлайн: длина протеза, функциональные уровни K-levels, нагрузка на протез, биомеханика сустава, подбор ортеза.

Теги:#Математика#Комбинаторика#математика#вычисления#формулы#числа#комбинаторика#перестановки#сочетания#факториал#вероятность#калькулятор#бесплатно#онлайн#расчёт