Калькулятор комплексных чисел

Выполняйте арифметические операции, находите модуль и аргумент, возводите в степень, извлекайте корни и переводите между формами записи с визуализацией на комплексной плоскости.

z\u2081 = a + bi

z\u2082 = c + di

Комплексная плоскость

Загрузка калькулятора...

Операций

Арифметика, модуль, аргумент, степень, корни

Формы записи

Алгебраическая, тригонометрическая, показательная

Знаков точности

Высокоточные вычисления с плавающей точкой

Визуализация

Интерактивная комплексная плоскость

Основы комплексных чисел

Что такое комплексные числа?

Комплексное число z = a + bi, где a -- действительная часть (Re), b -- мнимая часть (Im), а i -- мнимая единица. Комплексные числа расширяют множество действительных чисел и позволяют решать уравнения, не имеющие действительных корней, например x² + 1 = 0.

z = a + bi, где i² = -1

Мнимая единица i

Мнимая единица i определяется как число, квадрат которого равен -1. Это не абстракция -- она имеет конкретный геометрический смысл: умножение на i поворачивает вектор на комплексной плоскости на 90 градусов против часовой стрелки.

i² = -1

i³ = -i

i&sup4; = 1

ℂ

Комплексная плоскость

Комплексная плоскость (диаграмма Аргана) -- это двумерное представление комплексных чисел. Горизонтальная ось -- действительная часть (Re), вертикальная -- мнимая (Im). Каждому числу z соответствует точка (a, b) или вектор из начала координат.

Полярные координаты:

r = |z| = √(a² + b²)

θ = arg(z) = atan2(b, a)

Где применяются комплексные числа?

Комплексные числа -- это не абстракция. Они лежат в основе множества прикладных областей науки и техники.

⚡

Электротехника

Анализ цепей переменного тока. Импеданс, фазовые сдвиги, мощность -- всё описывается комплексными числами. Формула Z = R + jX является стандартом.

⚛

Квантовая механика

Волновая функция ψ является комплекснозначной. Уравнение Шрёдингера фундаментально основано на комплексной арифметике и унитарных преобразованиях.

⚙

Теория управления

Передаточные функции, диаграммы Найквиста и Боде, анализ устойчивости по критерию Рауса-Гурвица -- всё это язык комплексных чисел.

♫

Цифровая обработка сигналов

Преобразование Фурье, z-преобразование, проектирование фильтров. Частотный спектр сигнала -- это комплекснозначная функция частоты.

✈

Аэродинамика

Конформные отображения (преобразование Жуковского) позволяют рассчитывать обтекание крыла самолёта, используя функции комплексного переменного.

✸

Фракталы и компьютерная графика

Множества Мандельброта и Жюлиа определяются итерацией z_{n+1} = z_n² + c на комплексной плоскости. Генерация фрактальных изображений.

Формулы и операции

Арифметические операции

Сложение

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

Вычитание

(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Умножение

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Деление

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i

Модуль и аргумент

Модуль

|z| = √(a² + b²)

Расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости.

Аргумент

arg(z) = atan2(b, a)

Угол между положительной вещественной осью и вектором z.

Степень и корни (формула Муавра)

Возведение в степень

zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i·sin(nθ))

Извлечение корня

ⁿ√z = r^1/n(cos((θ+2kπ)/n) + i·sin((θ+2kπ)/n))

k = 0, 1, ..., n-1 — даёт n различных корней.

Формы записи комплексного числа

Алгебраическая

z = a + bi

Тригонометрическая

z = r(cosθ + i·sinθ)

Показательная

z = re^iθ

Продвинутые темы

Формула Эйлера

Связь между экспоненциальной функцией и тригонометрией -- одна из красивейших формул математики. Связывает пять фундаментальных констант: e, i, π, 1 и 0.

e^iπ + 1 = 0

∑

Ряды Лорана

Обобщение рядов Тейлора для функций комплексного переменного. Содержит как положительные, так и отрицательные степени. Ключевой инструмент для анализа особых точек и вычисления вычетов.

f(z) = ∑ a_n(z - z₀)ⁿ, n ∈ &integers;

Конформные отображения

Аналитические функции комплексного переменного сохраняют углы между кривыми. Это свойство используется в аэродинамике, электростатике, теории упругости и картографии.

Примеры:

w = z², w = 1/z, w = e^z, w = (z+1/z)/2

Кватернионы

Расширение комплексных чисел до 4 измерений: q = a + bi + cj + dk, где i² = j² = k² = ijk = -1. Используются в 3D-графике, робототехнике и навигации для представления вращений без проблемы шарнирного замка (gimbal lock).

q = a + bi + cj + dk

Практические советы

Деление -- через сопряжённое

Чтобы разделить комплексные числа, умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя. Это устраняет мнимую часть в знаменателе.

Умножение проще в полярной форме

При умножении в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются: |z₁z₂| = |z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂).

Используйте atan2, а не atan

Функция atan2(b, a) правильно определяет квадрант аргумента, в отличие от обычного арктангенса, который даёт значение только в (-π/2, π/2).

Проверяйте корни подстановкой

После вычисления корней n-й степени подставьте каждый корень обратно в уравнение w^n = z и убедитесь, что равенство выполняется с учётом точности.

Геометрическая интерпретация

Всегда визуализируйте результат на комплексной плоскости. Сложение -- это параллелограмм, умножение -- поворот и масштабирование, сопряжение -- отражение относительно оси Re.

Корни равномерно распределены

Все n корней n-й степени из z расположены на окружности радиуса |z|^(1/n) и равномерно распределены с шагом 2π/n. Это удобно для проверки.

Как пользоваться калькулятором

Выберите вкладку

Определите, что вам нужно: арифметика двух чисел, свойства одного числа, возведение в степень / извлечение корней или преобразование формы записи.

Введите данные

Укажите действительную и мнимую части комплексного числа (или модуль и аргумент для обратного преобразования). Для операций с двумя числами заполните оба поля.

Нажмите "Вычислить"

Калькулятор мгновенно выполнит расчёт и покажет результат во всех трёх формах записи: алгебраической, тригонометрической и показательной.

Изучите визуализацию

На комплексной плоскости справа отображаются все числа: исходные, сопряжённые и результаты. Это помогает интуитивно понять результат операции.

ЧАСТЫЕ ВОПРОСЫ

Часто задаваемые вопросы

Комплексное число -- это пара двух обычных (действительных) чисел, записанная как a + bi, где a -- вещественная часть, b -- мнимая часть, а i -- специальная единица, квадрат которой равен -1. Это расширение обычных чисел, которое позволяет решать уравнения вроде x² + 1 = 0.

Алгебраическая форма (a + bi) удобна для сложения и вычитания. Тригонометрическая r(cosθ + i·sinθ) и показательная re^{iθ} удобны для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней, так как модули перемножаются, а аргументы складываются.

Используется формула Муавра. Корень n-й степени из числа z = r·e^{iθ} имеет n значений: w_k = r^{1/n} · e^{i(θ+2πk)/n}, k = 0, 1, ..., n-1. Все корни лежат на окружности радиуса r^{1/n} и равномерно распределены по углу.

Калькулятор использует 64-битную арифметику с плавающей точкой (стандарт IEEE 754). Результаты округляются до 10 значащих цифр. Для абсолютного большинства инженерных и учебных задач такой точности более чем достаточно.

Модуль |z| = √(a² + b²) -- это расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости (длина вектора). Аргумент arg(z) -- это угол (в радианах) между положительной действительной осью и вектором z, измеренный против часовой стрелки.

Да, при условии, что делитель не равен нулю (z₂ ≠ 0). Деление выполняется умножением числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателя: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c²+d²).

Сопряжённое к z = a + bi обозначается z̄ = a - bi. Геометрически это отражение точки относительно действительной оси. Свойство: z · z̄ = |z|², что всегда даёт неотрицательное действительное число.

Формула Муавра утверждает, что (cosθ + i·sinθ)^n = cos(nθ) + i·sin(nθ). Для произвольного z = r(cosθ + i·sinθ) возведение в степень: z^n = r^n(cos(nθ) + i·sin(nθ)). Модуль возводится в степень, аргумент умножается на n.

Да. Калькулятор показывает результаты во всех формах записи и визуализирует их на комплексной плоскости, что помогает глубже понять геометрический смысл операций. Рекомендуется для студентов, изучающих высшую математику, ТФКП и физику.

Это следствие основной теоремы алгебры: уравнение w^n = z степени n имеет ровно n корней в поле комплексных чисел (с учётом кратности). Корни равномерно расположены на окружности, разделяя её на n равных дуг с угловым шагом 2π/n.

Был ли этот калькулятор полезен?

ревизия · 9 мая 2026

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ

Инструмент справочный — не заменяет эксперта

Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.

Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.

Профессиональные решения — медицинские, финансовые, инженерные — должны приниматься только после консультации с квалифицированным специалистом. Не используйте автоматический расчёт как единственное основание для важных решений.

Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший из-за использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию результатов.

СМЕЖНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

Калькулятор комплексных чисел

z\u2081 = a + bi

z\u2082 = c + di

Комплексная плоскость

Основы комплексных чисел

Что такое комплексные числа?

Мнимая единица i

Комплексная плоскость

Где применяются комплексные числа?

Электротехника

Квантовая механика

Теория управления

Цифровая обработка сигналов

Аэродинамика

Фракталы и компьютерная графика

Формулы и операции

Арифметические операции

Модуль и аргумент

Степень и корни (формула Муавра)

Формы записи комплексного числа

Продвинутые темы

Формула Эйлера

Ряды Лорана

Конформные отображения

Кватернионы

Практические советы

Деление -- через сопряжённое

Умножение проще в полярной форме

Используйте atan2, а не atan

Проверяйте корни подстановкой

Геометрическая интерпретация

Корни равномерно распределены

Как пользоваться калькулятором

Выберите вкладку

Введите данные

Нажмите "Вычислить"

Изучите визуализацию

Часто задаваемые вопросы

Лиана Арифметова

Инструмент справочный — не заменяет эксперта

Похожие калькуляторы

Калькулятор интерполяции (Лагранж, сплайн)

Решатель уравнений (квадратные, кубические)

Калькулятор СЛАУ (метод Гаусса)

Калькулятор логарифмов

Калькулятор тригонометрии

Калькулятор оптимизации: симплекс, рюкзак, генетика

Калькулятор дробей (смешанные и неправильные)

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор матриц

Калькулятор комбинаторики

Калькулятор производных и интегралов

Калькулятор чисел Фибоначчи

Калькулятор золотого сечения

Калькулятор сумм рядов

Калькулятор Монте-Карло симуляции: оценка рисков

z\u2081 = a + bi

z\u2082 = c + di

Комплексная плоскость